4.3. Распределение примеси вдоль слитка в методе двойного капиллярного тигля

Для расчета распределения примеси вдоль слитка при использовании подпитки из жидкой фазы уравнение материального баланса может быть записано следующим образом:

dQ_т + dQ + dQ_п + dQ_газ = 0, (4.1)

где dQ_т, dQ, dQ_п, dQ_газ – изменение в процессе роста кристалла количества атомов легирующей примеси в твердой, жидкой, подпитывающей и газовой фазах соответственно. Уравнение баланса объемов, в отличие от (1.11), должно учитывать поступление в рабочий объем подпитывающего вещества, поэтому оно должно быть записано в следующем виде:

dV_т +dV + dV_п = 0, (4.2)

где dV_т, dV, dV_п – это изменение в процессе кристаллизации объема твердой, жидкой и подпитывающей фаз соответственно.

Для характеристики объемных изменений жидкой фазы в процессе направленной кристаллизации вводят параметр подпитки В:

В = – = 1 + . (4.3)

Для консервативных процессов dV = 0, поэтому В = 0. Для неконсервативных процессов в общем случае 0 < B < 1.

Определим параметр подпитки в методе двойного капиллярного тигля. Изменение объема твердой фазы dV_т за время dt рассчитаем следующим образом:

dV_т = fSdt = S_общ v_опdt,

где f – скорость кристаллизации; S – поперечное сечение кристалла; S_общ – сечение общего тигля; v_оп – скорость опускания расплава в тиглях. Изменение объема жидкой фазы dV за время dt может быть рассчитано так:

dV = –S_раб v_опdt,

где S_раб – поперечное сечение рабочего тигля. Тогда параметр подпитки В вычисляется так:

В = – = = .

Запишем уравнение материального баланса (4.1) в следующем виде:

kСdV_т + CdV + VdC + С_пdV_п + F(С – С_р)dt = 0. (4.4)

Поскольку доля закристаллизовавшегося расплава g = 1 – , то dg можно выразить в следующем виде: dg = – . Тогда, учитывая (4.2) и (4.3), получаем:

dV_т = –= ;

dV_п = – dV_т – dV = (B–1)dV_т = .

Поскольку dV_т = fSdt = , запишем dt = Подставим полученные соотношения в (4.4):

kС – CV₀dg + (1 – g)V₀dC – С_п +

+ V₀(C – C_p)dg = 0. (4.5)

Учитывая, что k_и = , k_об = k_и + k, разделяем в (4.5) переменные и интегрируем, принимая во внимание, что при g = 0 концентрация примеси в расплаве С = С₀. В этих условиях распределение примеси вдоль слитка в методе двойного капиллярного тигля получим в следующем виде:

С_т = +

. (4.6)

Рассмотрим случаи, когда возможно получение слитка с однородным распределением примеси при использовании метода двойного капиллярного тигля.

1. В случае выращивания кристалла в вакууме (С_р = 0) и подпитки чистым веществом (в подпитывающем тигле концентрация легирующей примеси С_п задается равной нулю) распределение примеси вдоль слитка в соответствии с (4.6) приводится к следующему выражению:

С_т =.

Условия однородного легирования записываются следующим образом:

а) для летучей примеси (α 0) и С_т = kС₀, если k_об = В. В методе двойного капиллярного тигля параметр подпитки В = и имеет значение 0,2 … 0,5. Следовательно, условия однородного легирования могут быть выполнены для тех примесей, у которых

k_об = k + k_и =

соответствует тому же диапазону значений.

Поверхность испарения F в методе двойного капиллярного тигля рассчитывается по формуле F = ;

б) для нелетучей примеси (α = 0) условие однородного легирования принимает вид С_т = kС₀, если k = В. Рекомендуемый диапазон значений k = 0,2 … 0,5.

2. В случае, если подпитывающий расплав содержит легирующую примесь, т. е. С_п 0, условия однородного легирования выбираются следующим образом:

а) примесь летучая (α 0). Если мы выбираем соотношение между С₀ и С_п из условия С₀(k_об – В) = С_п(1 – В), то тогда в соответствии с (4.6) С_т = . Данные соотношения могут быть реализованы в случае, если k_об > B, иначе будет происходить накопление примеси в жидкой фазе.

б) примесь нелетучая (α = 0). Если мы выбираем соотношение между С₀ и С_п из условия С₀(k – В) = С_п(1 – В), то С_т = . Данные соотношения также могут быть реализованы в случае, если k > B.