§2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Основные формулы

Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью , равен

.

Второй закон Ньютона имеет вид

или

где – равнодействующая сил, действующих на точку.

Сила упругости равна

,

где k – коэффициент упругости; х – абсолютная деформация.

Модуль силы гравитационного взаимодействия определяется формулой

где – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки).

Сила тяжести равна

,

где – ускорение свободного падения.

Сила трения (скольжения) равна

,

где μ – коэффициент трения; N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса выражается формулой

или для двух тел (i = 2):

,

где и – скорости тел в начальный момент времени; и – скорости тел в конечный момент времени.

Механическая работа, совершаемая постоянной силой , равна

,

где – вектор перемещения; – угол между векторами силы и перемещения.

Работа переменной силы определяется формулой

.

Мгновенная мощность равна

,

где – работа, совершаемая за промежуток времени .

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно, равна

или

Потенциальная энергия упругодеформированной пружины равна

где k – жесткость пружины; х – абсолютная деформация.

Потенциальная энергия тела связана с силой, действующей на тело в данной точке поля, соотношением

.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия равна

где – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки).

Потенциал гравитационного поля равен

,

где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, равна

,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии имеет вид

,

где Е – полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы.

Работа A, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения полной механической энергии системы:

.

Задачи

2.1. На столе стоит тележка массой m₁ = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m₂ = 1 кг?

2.2. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m₁ = 1,5 кг и m₂ = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

2.3. Два бруска массами m₁ = 1 кг и m₂ = 4 кг, соединенные шнуром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F = 10 H, направленную горизонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, соединяющего бруски, если силу 10 Н приложить: а) к первому бруску; б) ко второму бруску. Трением пренебречь.

2.4. В установке (рис. 2.1) массы тел равны m₀, m и m₂, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти уско­рение а, с которым опускается тело , и силу натяжения нити, связывающей тела и , если коэффициент трения равен μ.

2.5. На гладком столе лежит брусок массой m = 4 кг. К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шнуров подвешены гири, массы которых m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг. Найти ускорение а, с которым движется брусок и силу натяжения Т каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь.

2.6. Наклонная плоскость, образующая угол = 25⁰ с плоскостью горизонта, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время t = 2 c. Определить коэффициент трения μ тела о плоскость.

2.7. Ha наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, поместили два бруска 1 и 2 (рис. 2.2). Массы брусков m₁ и m₂, коэффициент трения между плоскостью и этими брусками μ₁ и μ₂, при­чем μ₁<μ₂. Найти: а) силу взаимодействия между бруска­ми при движении; б) угол α, при котором скольжения не будет.

2.7. Небольшое тело пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в 2 раза меньше времени спуска.

2.8. Шайбу поместили на наклонную плоскость, составляющую угол α = 10° с горизонтом. Если шайбе сообщить некоторую начальную скорость вверх по плоскости, то она до остановки проходит путь S₁; если же сообщить ту же начальную скорость вниз, то путь до остановки равен S₂. Найти коэффици­ ент трения, зная, что S₂/S₁ = 4.

2.9. В установке (рис. 2.3) известны угол α и коэффициент трения μ между телом m₁ и наклонной плос­костью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Вначале оба тела неподвижны. Найти отношение масс m₂/m₁, при котором тело m₂ начнет: а) опускаться; б) подниматься.

2.10. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v₀. Коэффици­ент трения между шайбой и плоскостью равен μ. При каком значении угла наклона α шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

2.11. Брусок массы m тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения μ (рис. 2.4). Найти угол α, при котором натяжение нити минимально. Чему оно равно?

2.12. Нить перекинута через легкий вращающийся без трения блок. На одном конце нити прикреплен груз массы М, а по другой свисающей части нити скользит муфточка массы m с постоянным ускорением а₀ относительно нити. Найти силу трения, с которой нить действует на муфточку.

2.13. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы масс и . Кабина начинает подниматься с ускорением а₀. Пренебрегая массой блока, найти: а) ускорение груза m₁ относительно кабины; б) силу, с которой блок действует на потолок кабины.

2.14. В системе, показанной на рис. 2.5, массы тел равны , и , трения нет, массы блоков пренебрежимо малы. Найти ускорение тела .

2.15. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А (рис. 2.6), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен μ. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет.

2.16. Призме 1, на которой находится брусок 2, сообщили влево горизонтальное ускорение а (рис. 2.7). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними μ < ctgα?

2.17. На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы m₁ с углом α (см. рис. 2.7) и на ней брусок 2 массы m₂. Пренебрегая трением, найти ускорение призмы.

2.18. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением а_τ = 0,62 м/с² по горизонтальной поверхности, описывая дугу радиуса R = 40м. Коэффициент трения между колесами машины и поверхностью μ = 0,2. Какой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю?

2.19. Материальная точка массой m = 2кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению х = A + Bt + Ct² + Dt³, где С = 1 м/с², D = -0,2 м/с³. Найти значения этой силы в моменты времени t₁ = 2 c и t₂ = 5 с. В какой момент времени сила равна нулю?

2.20. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью v₀ = 20 м/с, остановилась через t = 40 с. Найти коэффициент трения μ шайбы о лед.

2.21. Шарик массой m = 100 г упал с высоты h = 2,5 м на горизонтальную плиту, масса которой много больше массы шарика, и отскочил от нее вверх. Считая удар абсолютно упругим, определить импульс р, полученный плитой.

2.22. Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти приращение импульса Δр тела за первые t секунд движения и модуль приращения импульса тела за все время движения.

2.23. Шарик массой m = 300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс р₁, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость v₀ = 10 м/с, направленную под углом α = 30⁰ к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

2.24. На горизонтальной поверхности находится брусок массой m₁ = 2 кг. Коэффициент трения μ₁ бруска о поверхность равен 0,2. На бруске находится другой брусок массой m₂ = 8 кг. Коэффициент трения μ₂ верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску приложена сила F. Определить: 1) значение силы F₁, при котором начнется совместное скольжение брусков по поверхности; 2) значение силы F₂, при котором верхний брусок начнет проскальзывать относительно нижнего.

2.25. Автоцистерна с керосином движется с ускорением а = 0,7 м/с². Под каким углом α к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне?

2.26. Струя воды ударяется о неподвижную плоскость, поставленную под углом α = 60⁰ к направлению движения струи. Скорость v струи равна 20 м/с, площадь S ее поперечного сечения равна 5 см². Определить силу F давления струи на плоскость.

2.27. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте высоты над поверхностью Земли, сброшен груз массой m = 100 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально скорости, определить, через какой промежуток времени ускорение а груза будет равно половине ускорения свободного падения. Коэффициент сопротивления k = 10 кг/с.

2.28. Аэростат массы m = 250 кг начал опускаться с ускорением а =0,2 м/с². Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх.

2.29. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считать силу сопротивления F_с пропорциональной скорости, определить скорость v лодки через Δt = 20 c после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k = 20 кг/с.

2.30. Шар массой m₁ = 10 кг, движущийся со скоростью v₁ = 4 м/с, сталкивается с шаром массой m₂ = 4 кг, скорость v₂ которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость u шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

2.31. В лодке массой m₁ = 240 кг стоит человек массой m₂ = 60 кг. Лодка плывет со скоростью v₁ = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью v = 4 м/с (относительно лодки). Найти скорость u движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки; 2) человек прыгает в сторону, противоположную движению лодки.

2.32. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека М = 60 кг, масса доски m = 20 кг. С какой скоростью u (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) v = 1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать.

2.33. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием М = 15 т. Орудие стреляет вверх под углом α = 60⁰ к горизонту в направлении пути. С какой скоростью v₁ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m = 20 кг и он вылетает со скоростью v₂ = 600м/с?

2.34. Снаряд массой m = 10 кг обладает скоростью v = 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая массой m₁ = 3 кг получила скорость u₁ = 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость u₂ второй, большей части после разрыва.

2.35. Два конькобежца массами m₁ = 80 кг и m₂ = 50 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью v = 1 м/с. С какими скоростями u₁ и u₂ будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.

2.36. В момент, когда скорость падающего тела составила v₀ = 4 м/с, оно разорвалось на три одинаковых осколка. Два осколка разлетелись в горизонтальной плоскости под прямым углом друг к другу со скоростью v = 5 м/с каждый. Найти скорость третьего осколка сразу после разрыва.

2.37. Снаряд, выпущенный со скоростью v₀ = 100 м/с под углом α = 45⁰ к горизонту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой О со скоростью v = 97 м/с. С какой ско­ростью упал на землю второй осколок?

2.38. Шайба 1, скользившая по шероховатой горизонталь­ной поверхности, испытала соударение с покоившейся шайбой 2. После столкновения шайба 1 отскочила под прямым углом к направлению своего первоначального движения и прошла до остановки путь S₁ = 1,5 м, а шайба 2 — путь S₂ = 4 м. Найти скорость шайбы 1 перед столкновением, если ее масса в 1,5 раза меньше массы шайбы 2 и коэффициент трения μ = 0,17.

2.39. Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек - перпендикулярно движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а скорость тележки 2 стала v. Найти первоначальные скорости тележек v₁ и v₂, если масса каждой тележки (без человека) М, а масса каждого человека m.

2.40. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v₀. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью v относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна М, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

2.41. На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки: а) одновременно; б) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше?

2.42. Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения μ= 0,4, найти частоту n вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

2.43. Акробат на мотоцикле описывает “мертвую петлю” радиусом R = 4 м. С какой наименьшей скоростью v_min должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?

2.44. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести Р летчика, если скорость самолета v = 100 м/с?

2.45. Самолет делает "мертвую петлю" радиуса R = 500 м с постоянной скоростью v =360 км/ч. Найти вес летчика массы m = 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

2.46. Грузик, привязанный к шнуру длиной l = 50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол α образует шнур с вертикалью, если частота вращения n = 1 с^-1?

2.47. Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии l = 0,8 м от поверхности цилиндра. Коэффициент трения μ покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью v_min должен ехать мотоциклист? Каков будет при этом угол α наклона его к плоскости горизонта?

2.48. Автомобиль массой m = 5 т движется со скоростью v = 10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу F давления автомобиля на мост в его верхней части, если радиус R кривизны моста равен 50 м.

2.49. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения μ колес о покрытие дороги равен 0,1. При какой скорости v автомобиля начнется его занос?

2.50. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь S = 5 м и приобрела скорость v = 2 м/с. Определить работу А силы, если масса m вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения μ = 0,01.

2.51. Вычислить работу А, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой m = 100 кг на высоту h = 4 м за время t = 2 с.

2.52. Найти работу А подъёма груза по наклонной плоскости длиной l = 2 м, если масса m груза равна 100 кг, угол наклона α = 30º, коэффициент трения μ = 0,1 и груз движется с ускорением а =1 м/с².

2.53. Вычислить работу А, совершаемую на пути S = 12 м равномерно возрастающей силой, если в начале пути сила F₁ = 10 Н, в конце пути F₂ = 46 H.

2.54. Небольшое тело массы m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке на­правлена по касательной к траектории (рис. 2.8). Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основа­ния l и коэффициент трения μ.

2.55. Брусок массы m = 2 кг мед­ленно подняли по шероховатой наклонной плоскости на высоту h = 51 см при помощи нити, параллельной этой плос­кости. При этом совершили работу А = 16 Дж. На высоте h нить отпустили. Найти скорость бруска, достигшего первона­чального положения.

2.56. Шайба массы m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол α = 30⁰ с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстоя­ние l = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения μ = 0,15.

2.57. Прямая цепочка массы m = 50 г и длины l = 52 см лежит на гладкой горизонтальной полуплоскости у ее границы с другой горизонтальной полуплоскостью, где коэффициент трения μ = 0,22. Цепочка расположена перпендикулярно границе раздела полуплоскостей. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя горизонтальной силой на конец цепочки, находящийся у границы раздела, медленно перетащить всю цепочку через эту границу?

2.58. Цепочка массы m =0,8 кг и длины l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешива­ющаяся часть составляет 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

2.59. Тело массой m = 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью v₀ = 20 м/с, через t = 3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.60. Камень брошен вверх под углом α = 60º к плоскости горизонта. Кинетическая энергия Т₀ камня в начальный момент времени равна 20 Дж. определить кинетическую Т и потенциальную П энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

2.61. С какой наименьшей высоты h должен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке, имеющей форму “мертвой петли” радиусом R = 4 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением пренебречь.

2.62. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полусферы. Какую дугу опишет камешек, прежде чем оторвётся от купола? Трением пренебречь.

2.63. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость v он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму “мёртвой петли” радиусом R = 4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

2.64. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой Н, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 2.9). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние S ? Чему оно равно?

2.65. Небольшое тело A начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис. 2.10). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

2.66. Небольшой шарик на нити движется по окружности в вертикальной плоскости. Найти массу шарика, если макси­мальное натяжение нити на ΔF = 6 Н больше минимального.

2.67. При выстреле из орудия снаряд массой m₁ = 10 кг получает кинетическую энергию T₁ = 1,8 МДж. Определить кинетическую энергию T₂ ствола орудия вследствие отдачи, если масса m₂ ствола орудия равна 600 кг.

2.68. Ядро атома распадается на два осколка массами m₁ = 1,6·10^-25 кг и m₂ = 2,4·10^-25 кг. Определить кинетическую энергию Т₂ второго осколка, если энергия Т₁ первого осколка равна 18 нДж.

2.69. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперёд гирю массой m₁ = 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью v₂ = 1 м/с. Масса конькобежца m₂ = 60 кг. Определить работу А, совершенную конькобежцем при бросании гири.

2.70. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти: а) модуль полного ускорения шарика и силу натяжения нити как функции угла ее отклонения от вертикали; б) силу натяжения нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна; в) угол отклонения нити в момент, когда полное ускорение шарика горизонтально.

2.71. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.

2.72. Ствол пушки направлен под углом α = 45⁰ к горизон­ту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в 50 раз меньше массы пушки, v₀=180 м/с. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса ее освободить.

2.73. Какую мощность развивают двигатели ракеты массы М, которая неподвижно висит над поверхностью Земли, если скорость истечения газов равна v?

2.74. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы М (рис. 2.11) и на нем небольшая шайба массы m. Шайбе сообщили в горизонтальном направлении скорость v. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) она поднимется после отрыва от тела М? Трения нет.

2.75. Небольшая шайба массы m без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высоты h и попадает на доску массы М, лежащую у основания горки на гладкой горизонталь­ной плоскости (рис. 2.12). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом про­цессе.

2.76. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска АВ длины l = 100 см, на конце А кото­рой находится небольшая шайба. Масса доски в 10 раз больше массы шайбы, коэффициент трения между ними μ = 0,15. Какую начальную скорость надо сообщить шайбе в направлении от А к В, чтобы она смогла соскользнуть с доски?

2.77. В баллистический маятник массой М = 5 кг попала пуля массой m = 10 г и застряла в нём. Найти скорость v пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h = 10 см.

2.78. Два груза массами m₁ = 10 кг и m₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонён на угол α = 60º и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать неупругим.

2.79. Два неупругих шара массами m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг движутся со скоростями соответственно v₁ = 8 м/с м v₂ = 4 м/с. Определить увеличение ∆U внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

2.80. Шар массой m₁, летящий со скоростью v₁ = 5 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂. Удар прямой, неупругий. Определить скорости шаров после удара, а также долю кинетической энергии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) m₁ = 2 кг, m₂ = 8 кг; 2) m₁ = 8 кг, m₂ = 2 кг.

2.81. Молот массой m₁ = 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса m₂ наковальни равна 100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить КПД η удара молота при данных условиях.

2.82. Молотком, массой m₁ = 200 г, забивают в стену гвоздь массой m₂ = 75 г. Определить КПД η удара молотка при данных условиях.

2.83. Шар массой m₁ = 200 г, движущийся со скоростью v₁ = 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой m₂ = 800 г. Удар прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости u₁ и u₂ шаров после удара?

2.84. Частица массы m₁ испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы m₂. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если: а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения; б) столкновение лобовое?

2.85. В результате упругого лобового столкновения частицы 1 массы m₁ с покоившейся частицей 2 обе частицы разлете­лись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2

2.86. После упругого столкновения частицы 1 с покоившей­ся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относи­тельно первоначального направления движения частицы 1, и угол между их направлениями разлета α = 60°. Найти отноше­ние масс этих частиц.

2.87. Частица 1, имевшая скорость v = 10 м/с, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия системы уменьшилась на 1 %. Найти модуль и направление скорости частицы 1 после столкновения.

2.88. Радиус Земли в n = 3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в k = 1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения g_л на поверхности Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного падения g считать неизвестным.

2.89. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на высоте h = 3,6 Мм. Определить линейную скорость v спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными.

2.90. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h над поверхностью Земли движется спутник.

2.91. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности, Определить угловую скорость спутника и радиус R его орбиты.

2.92. Определить работу А, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой m = 1кг упадёт на поверхность Земли: 1) с высоты h, равной радиусу Земли; 2) из бесконечности. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на её поверхности считать известными.

2.93. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость v ракеты ровна первой космической скорости?

2.94. Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью v₀ = 10км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на её поверхности считать известными.

2.95. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти, во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца.

2.96 Двойная звезда — это система из двух звезд, движущихся вокруг ее центра масс. Известны расстояние l между компонентами двойной звезды и период Т ее вращения. Считая, что l не меняется, найти массу системы.

2.97 Частица массы m находится вне однородного шара массы М на расстоянии r от его центра. Найти: а) потенциальную энергию гравитационного взаимодействия частицы и шара; б) силу, с которой шар действует на частицу.

2.98 Найти период обращения спутника, движущегося вокруг некоторой планеты вблизи ее поверхности, если средняя плотность планеты ρ = 3,3 г/см³.

2.99. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает ее на x = 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высотой h = 5 см?

2.100. Пуля массой m₁ = 10 г вылетает со скоростью v = 300 м/с из дула автоматического пистолета, масса m₂ затвора которого равна 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной жесткостью k = 25 кН/м. На какое расстояние l отойдет затвор после выстрела? Считать пистолет жестко закрепленным.

2.101. В пружинном ружье пружина сжата на x₁ = 20 см. При взводе ее сжали еще на x₂ = 30 см. С какой скоростью v вылетит из ружья стрела массой m = 50 г, если жесткость k пружины равна 120 Н/м?

2.102. Вагон массой m = 12 т двигался со скоростью v = 1 м/с. Налетев на пружинный буфер, он остановился, сжав пружину буфера на x = 10 см. Найти жесткость k пружины.

2.103. Два бруска масс m₁, и m₂, соединенные недеформированной пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен μ. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску массы m₂, чтобы другой брусок сдвинулся с места?

2.104. Система состоит из двух последовательно соединен­ных пружинок с жесткостями k₁ и k₂. Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на x.

2.105. Небольшой шарик массы m = 50 г прикреплен к концу упругой нити, жесткость которой k = 63 Н/м. Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя нити, и осторожно отпустили. Когда нить проходила вертикальное положение, ее длина оказалась l = 1,5 м и скорость шарика v = 3 м/с. Найти силу натяжения нити в этом положении.

2.106. Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массы m, соединенная пружинкой длины l₀ с концом А. Жесткость пружинки равна х. Какую работу надо совер­шить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ω?

2.107. На пружинке жесткости k висит вертикальный стержень, состоящий из двух неравных частей. Нижняя часть массы m оторвалась. На какую высоту поднимется оставшаяся часть стержня?

2.108. На подставке лежит гиря массы m = 1 кг, подве­шенная на недеформированной пружине жесткости k =80 Н/м. Подставку начали опускать с ускорением а = 5 м/с². Пренебре­гая массой пружины, найти максимальное растяжение пружины в этом процессе.

2.109. В системе (рис. 2.13) масса каждого бруска m = 0,5 кг, жесткость пружины k = 40 Н/м, коэффициент трения между бруском и плоскостью μ = 0,2. Массы блока и пружины пренебрежимо малы. Система пришла в движение с нулевой начальной скоростью при недеформированной пру­жине. Найти максимальную скорость брусков.

2.110. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска масс m₁ и m₂, соединенные пружинкой жес­ткости k (рис. 2.14). Брусок 2 перемес­тили влево на небольшое расстояние х и отпустили. Найти скорость центра масс системы после отрыва бруска 1 от стенки.

2.111. Система состоит из двух одинаковых цилиндриков, каждый массы m, между которыми находится сжатая пружина (рис. 2.15). Цилиндрики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. При каких значениях x — начальном сжатии пружинки — нижний цилиндрик подскочит после пережигания нити?