§6. Элементы статистической физики Основные формулы

Распределение Больцмана (распределение молекул газа, находящегося во внешнем силовом поле) имеет вид

,

где n – концентрация молекул газа; U – потенциальная энергия молекулы; n₀ – концентрация молекул в точках поля, где U = 0; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура; e – основание натурального логарифма.

Барометрическая формула (распределение давления газа, находящегося в однородном поле силы тяжести) имеет вид

, или ,

где p – давление газа; m – масса частицы; M– молярная масса; h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; p₀ – давление на этом уровне; g – ускорение свободного падения; R – универсальная газовая постоянная.

Распределение Максвелла молекул газа по скоростям теплового движения выражается соотношением

,

где dN(V) – число молекул, скорости которых лежат в интервале от V до V+dV; f(V) – функция Максвелла; N – общее число молекул; m – масса молекулы.

Распределение молекул по импульсам имеет вид

,

где dN(p) – число молекул, импульсы которых лежат в интервале от p до p+dp; f(V) – функция распределения по импульсам; N – общее число молекул; m – масса молекулы.

Распределение молекул по энергиям имеет вид

,

где dN() – число молекул, энергии которых заключены в интервале от до ; f() – функция распределения по энергиям; N – общее число молекул.

Среднее значение физической величины x, имеющей функцию распределения f(x), нормированную на единицу, определяется формулой

,

где интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины x.

Скорости молекул определяются формулами:

а) средняя квадратичная ;

б) средняя арифметическая ;

в) наиболее вероятная ,

где – масса одной молекулы.

Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени, равно

,

где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; – средняя арифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа определяется формулой

.

Задачи

6.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10 ^-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты на h = 10 м? Температура воздуха T = 300 К.

6.2. На сколько уменьшится атмосферное давление p₀ = 100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h = 100 м? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

6.3. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что темпе­ратура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

6.4. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давление р = 90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление p₀ = 100 кПа? Считать, что температура T воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

6.5. Найти изменение высоты Dh, соответствующее изменению давления на Dp =100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверхности Земли, где температура T₁ = 290 К, давление p₁ = 100 кПа; 2) на некоторой высоте, где температура T₂ = 220 К, давление p₂ = 25 кПа.

6.6. Барометр в кабине летящего самолета все время показыва­ет одинаковое давление p = 80 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха измени­лись на DТ = 1 К. Какую ошибку Dh в определении высоты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление p₀ = 100 кПа.

6.7. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используя функцию распределения Больцмана, установить распре­деление концентрации n частиц массой m, находящихся в роторе центрифуги, как функцию расстояния r от оси вращения.

6.8. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вы­вести формулу наиболее вероятной скорости V_в.

6.9. Какова вероятность W того, что данная молекула идеаль­ного газа имеет скорость, отличную от 0,5V_в не более чем на 1 %?

6.10. Определить относительное число w молекул идеального газа, скорости которых заключены в пределах от нуля до одной сотой наиболее вероятной скорости V_в.

6.11. Зная функцию распределения молекул по скоростям, оп­ределить среднюю арифметическую скорость молекул.

6.12. По функции распределения молекул по скоростям определить среднюю квадратичную скорость .

6.13. Водород находится при нормальных условиях и занимает объем V = 1 см³. Определить число N молекул в этом объеме, обла­дающих скоростями, меньшими некоторого значения = 1 м/с.

6.14. Вывести формулу наиболее вероятного импульса р_в моле­кул идеального газа.

6.15. На сколько процентов изменится наиболее вероятное значение р_в импульса молекул идеального газа при изменении тем­пературы на один процент?

6.16. Найти выражение для импульса молекул идеального газа, энергии которых равны наиболее вероятному значению энергии.

6.17. Найти выражение средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Функцию распределения моле­кул по энергиям считать известной.

6.18. Определить долю w молекул идеального газа, энергии которых отличаются от средней энергии поступательного движения молекул при той же температуре не более чем на 1 %.

6.19.Используя функцию распределения молекул по энергиям, определить наиболее вероятное значение энергии e _в.

6.20. Найти относительное число w молекул идеального газа, кинетические энергии которых отличаются от наиболее вероятного значения e_в энергии не более чем на 1 %.

6.21. Найти выражение для кинетической энергии молекул идеального газа, импульсы которых имеют наиболее вероятное значение p_в.

6.22. Во сколько раз изменится значение максимума функции f(e) распределения молекул идеального газа по энергиям, если тем­пература Т газа увеличится в два раза? Решение пояснить графи­ком.

6.23. Найти среднюю длину свободного пробега молекул водорода при давлении p = 0,1 Па и температуре T = 100 К.

6.24. При каком давлении р средняя длина свободного пробега молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?

6.25. Баллон вместимостью V = 10 л содержит водород массой m = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега моле­кул.

6.26. Можно ли считать вакуум с давлением p = 100 мкПа высо­ким, если он создан в колбе диаметром d = 20 см, содержащей азот при температуре Т = 280К?

6.27. Определить плотность разреженного водорода, если средняя длина свободного пробега молекул равна 1 см.

6.28. Найти среднее число столкновений, испытываемых в течение t =1 с молекулой кислорода при нормальных условиях.

6.29. Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при температуре T = 250 К и давлении р = 100 Па.

6.30. Найти среднюю квадратичную , среднюю арифмети­ческую и наиболее вероятную V_в скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) T = 20 К; 2) Т = 300 К; 3) T = 5 кК.

6.31. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости V₂ = 11,2 км/с?

6.32. При какой температуре T молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость , как молекулы водорода при температуре T₁ = 100 К?

6.33. Колба вместимостью V = 4 л содержит некоторый газ массой m = 0,6 г под давлением p = 200 кПа. Определить среднюю квадра­тичную скорость молекул газа.

6.34. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Определить среднюю квадратичную скорость пылинки массой m = 10^-10 г, если температура Т воздуха равна 300 К.

6.35. Во сколько раз средняя квадратичная скорость моле­кул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой m = 10^-8 г, находящейся среди молекул кислорода?

6.36. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость = 1 км/с.

6.37. Определить наиболее вероятную скорость V_в молекул водо­рода при температуре Т = 400 К.