Часть 2. Кинематика

2.1. Кинематика точки

Существуют три аналитических способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

При векторном способе радиус-вектор движущейся точки задается как функция времени . Векторы скорости и ускорения точки равны соответственно первой и второй производной по времени от радиус-вектора:

, .

Связь между радиус-вектором и декартовыми координатами точки выражается равенством: , где , , – орты осей координат.

При координатном способе закон движения точки в декартовой системе координат дается заданием трех функций: , , . Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также модули скорости и ускорения точки определяются по формулам:

, , , ,

.

При естественном способе задается траектория точки и закон движения точки по траектории , где криволинейная координата отсчитывается вдоль дуги от некоторой фиксированной точки на траектории. Алгебраическое значение скорости определяется по формуле , а ускорение точки равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений, т.е. , , , , – радиус кривизны траектории в данной точке.

Пример 2.1.1. Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям , (х ,у – в м, t – в с). Найти:

• уравнение траектории;

• скорость и ускорение в начальный момент;

• высоту и дальность обстрела;

• радиус кривизны в начальной и в наивысшей точках траектории.

Решение:

1. Получим уравнения траектории снаряда, исключая параметр t из уравнений движения

.

Траектория снаряда – это участок параболы (рис. 2.1.1), имеющий ограничивающие точки: начальную с координатами х = 0, у = 0 и конечную, для которой х = L (дальность полета), у = 0.

2. Определим дальность полета снаряда, подставив у = 0 в уравнение траектории. Откуда найдем L = 24000 м.

3. Скорость и ускорение снаряда найдем по проекциям на оси координат:

В начальный момент времени v₀ = 500 м/с, а = 10 м/с².

4. Для определения высоты полета снаряда найдем время t₁ полета до этой точки. В высшей точке проекция скорости на ось y равна нулю (рис. 2.1.1), , откуда t₁ = 40 с. Подставив t₁ в выражение для координаты у, получим значение высоты Н = 8000 м.

5. Радиус кривизны траектории

, где .

Откуда

м; м.

Пример 2.1.2. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.1.2) кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Найти уравнения движения, траекторию и скорость средней точки М шатуна 2, если ОА = АВ = 80 см.

Решение:

1. Запишем уравнения движения точки M в координатной форме (рис. 2.1.3)

2. Уравнение траектории получим, исключив время t из уравнения движения:

Траектория точки М – эллипс с центром в начале координат и полуосями 120 см и 40 см.

3. Скорость точки определим по проекциям на оси координат

Откуда

Задача 2.1.1. По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории в координатной форме.

Уравнение движения	Ответ

Задача 2.1.2. Найти уравнение траектории в координатной форме и закон движения точки по траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых координатах. За начало отсчета дуговой координаты s принять начальное положение точки.

Уравнение движения	Ответ
	, ;
	;
	;
	;

Задача 2.1.3. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки в координатной форме, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени с. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже.

Ответ: ; v₁ = 3,56 см/с; a₁ = 1,31 см/с²; a_τ = 0,61 см/с², a_n = 1,16 см/с², ρ = 10,93 см.

Задача 2.1.4. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки в момент времени . Найти радиус кривизны траектории. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже.

Ответ: ; v₀ = 0; a₀ = 7,2 см/с²; a_τ = 7,2 см/с², a_n = 0, ρ = ∞.

Задача 2.1.5. Движение точки задано уравнениями , (k и – положительные постоянные величины). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки. Найти радиус кривизны траектории. Изобразить траекторию точки и векторы скорости и ускорений в момент времени на чертеже.

Ответ: , , , , , .

Задача 2.1.6. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени t₁ = 1,5 с. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже.

Ответ: ; v₁ = 3,85 см/с; a₁ = 3,49 см/с²; a_τ = 2,01 см/с², a_n = 2,85 см/с², ρ = 5,2 см.

Рис. 2.1.4

Задача 2.1.7. Стержень (рис. 2.1.4) движется в плоскости так, что его концы все время остаются на осях координат. Угол , образуемый стержнем с осью , меняется по закону рад. Найти уравнения движения и траекторию точки стержня, ее скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени, когда , если AB = 10 см, AD = 6 см.

Ответ: ; ; ; v₁ = 9,42 см/с; a₁ = 9,87 см/с²; a_τ = 0, a_n = 9,87 см/с², ρ = 9 см.

Рис. 2.1.5

Задача 2.1.8. Трубка 1 (рис. 2.1.5) вращается в плоскости Oxy с постоянной угловой скоростью ω. Шарик 2 скользит по трубке согласно закону . Найти уравнения движения шарика в декартовых координатах, законы изменения его скорости и ускорения, а также радиус кривизны траектории шарика в той точке, которую шарик пройдет со скоростью u.

Ответ: , , , , .

Задача 2.1.9. Точка движется по окружности радиуса 8 м по закону ( – длина дуги в м, – время в с). Определить законы изменения скорости и ускорения точки.

Ответ: м/с, м/с².

Задача 2.1.10. Точка, двигаясь равнозамедленно по окружности, за 0,5 с прошла путь 2 м, равный половине длины окружности. Определить скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения точки при t = 0,5 с, если ее начальная скорость равна 5 м/с.

Ответ: v = 3 м/с; a = 14,69 м/с²; a_τ = 4 м/с², a_n = 14,14 м/с².

Задача 2.1.11. Точка движется по окружности радиуса 1,5 м. Когда угол между векторами скорости и ускорения точки составляет 60°, а модуль ускорения равен 7,5 м/с². Определить скорость точки, касательное и нормальное ускорения в этот момент движения.

Ответ: v = 3,12 м/с; a_τ = 3,75 м/с², a_n = 6,5 м/с².

Задача 2.1.12. Точка движется по некоторой траектории по закону ( – длина дуги в м, – время в с). Определить радиус кривизны траектории в положении, которое займет точка, спустя две секунды после начала движения, если в этот момент векторы скорости и ускорения точки составляют угол 30°.

Ответ: 10,39 м.

Задача 2.1.13. Точка движется по дуге окружности радиуса R так, что центральный угол , опирающийся на эту дугу, изменяется по закону . Найти для точки: 1) закон движения в естественной форме; 2) касательное и нормальное ускорения точки в те моменты времени, когда и когда угол наибольший.

Ответ: 1) ; 2) , , ; , , .

Задача 2.1.14. Точка движется по окружности радиуса 6 см по закону (– в см, – в с). В тот момент движения, когда угол между векторами скорости и ускорения точки равен 45°, найти скорость и ускорение точки.

Ответ: v = 12 см/с; a = 33,94 см/с².

Задача 2.1.15. Две точки и одновременно начали движения из точки O окружности радиуса 40 см (рис. 2.1.6) и встретились в точке К. Точка двигалась по диаметру согласно закону ( – в см, – в с), а точка – по окружности равноускоренно без начальной скорости. Определить ускорение точки в момент встречи с точкой .

Рис. 2.1.6

Ответ: см/с².

Рис. 2.1.7

Задача 2.1.16. Кулиса 2 длины кулисного механизма (рис. 2.1.7) приводится в движение кривошипом 1, вращающимся по закону . Составить уравнения движения точки В кулисы, если . Найти траекторию точки В, а также ее скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, когда .

Рис. 2.1.8

Ответ: ; ; ; ; ; ; .

Задача 2.1.17. Плоский механизм (рис. 2.1.8) состоит из ползуна 1, шатуна 2 и кулисы 3. Угол , задающий положение механизма, изменяется согласно закону , где . Составить уравнения движения точки В шатуна, а также найти ее скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения в момент, когда , если .

Ответ: ; ; ; ; ; .

Задача 2.1.18. Точка начала движение из начала координат в плоскости Oxy, имея следующий закон изменения скорости: (– в м/с , – в с). Найти уравнение траектории точки и радиус кривизны в той точке траектории, где скорость параллельна оси .

Ответ: ; ρ = 0,5 м.

Задача 2.1.19. Точка начала движение без начальной скорости из начала координат в плоскости Oxy, имея следующий закон изменения ускорения:  см/с²,  см/с². Найти уравнение траектории точки, ее скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения при с.

Ответ: .