2.3. Сложное движение точки
Сложным называется движение точки (или тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета.
Теорема
о
сложении скоростей.
При
сложном движении точки абсолютная
скорость равна
сумме ее относительной
и переносной
скоростей:
.
Теорема
о
сложении ускорений (теорема Кориолиса).
При
непоступательном переносном движении
абсолютное ускорение точки
находится как сумма трех ускорений:
относительного
,
переносного
и ускорения
Кориолиса
, 
,
где
− угловая скорость переносного вращения.
Пример
2.3.1.
Диск вращается
вокруг оси, перпендикулярной его
плоскости и проходящей через точку C,
по закону
рад (рис. 2.3.1а). Относительно диска по
хорде AB
движется точка М
по закону
см.
Определить абсолютную скорость и
абсолютное ускорение точки M
в момент времени t1
= 7 с, если OC
= 45
см.
Решение:
1. Точка М совершает сложное движение: движется по диску (относительное движение) и вместе с диском (переносное движение).
2. Определим положение точки на хорде в указанный момент времени
и изобразим ее в заданный момент времени (рис. 2.3.1б).
3. По заданному закону относительного движения определим относительные скорость и ускорение точки M
,
.
В момент времени t1:
,
.
Изобразим оба вектора (рис. 2.3.2).
4. По заданному закону переносного движения и найденному положения точки M определим ее переносные скорость и ускорение. Угловые скорость и ускорение диска определяются равенствами
,
.
Тогда
.
В заданный момент времени:
,
.
Изобразим векторы (рис. 2.3.2) с учетом установленного характера движения диска (диск вращается в сторону противоположную указанному на рисунке направлению отсчета угла замедленно).
5. Определим ускорение Кориолиса
.
Для определения направления ускорения Кориолиса можно воспользоваться правилом Жуковского (рис. 2.3.2).
6. Определим абсолютные скорость и ускорение точки M.
По теореме косинусов:
= 52,3
см/с.
(Рассматривая
треугольник OCM,
получим
).
Ускорение находится по его проекциям на оси координат
,
где
= 99,6
см/с2,
= 43,6
см/с2.
Откуда
a = 109 см/с2.
Задача
2.3.1. Диск
радиуса 30 см вращается по закону
рад вокруг оси, проходящей через точку
О
и перпендикулярной его плоскости (рис.
2.3.2). Точка М
движется относительно диска по ободу
согласно закону
см. Определить абсолютные скорость и
ускорение точки М
в момент времени 1 с.
Ответ: v = 0,63 м/с, a = 2,79 м/с2.
Задача
2.3.2.
Квадратная
плита вращается по закону
рад вокруг оси, проходящей через точку
С
и перпендикулярной
плоскости
чертежа (рис. 2.3.3). Точка М
движется относительно плиты по
полуокружности радиуса R
= 45 см по закону
см. Определить абсолютные скорость и
ускорение в момент времени 1 с.
Ответ: v = 1,17 м/с, a = 3,06 м/с2.
Задача
2.3.3.
Диск
радиуса R
= 20 см вращается по закону
рад вокруг оси, проходящей
через точки А
и
В
вдоль
его
диаметром диска
(рис.
2.3.4). Точка М
движется относительно диска по ободу
согласно закону
см.
Определить абсолютные
скорость
и ускорение в момент времени 0,5 с.
Ответ: v = 1,91 м/с, a = 19,6 м/с2.
Задача
2.3.4.
Диск
радиуса R
=
30 см вращается по закону
рад вокруг оси, проходящей через точки
А
и
В
и касательной к его ободу (рис. 2.3.5). Точка
М
движется относительно диска по ободу
согласно закону
см.
Определить абсолютные скорость и
ускорение в момент времени 2 с.
Ответ: v = 0,773 м/с, a = 2,52 м/с2.
Задача
2.3.5.
Полудиск
радиуса R
= 60 см вращается по закону
рад вокруг диаметральной оси, проходящей
через точки А
и
В.
Точка М
движется относительно диска по
полуокружности
согласно закону
см
(рис. 2.3.6). Определить абсолютные скорость
и ускорение в момент времени 1 с.
Ответ: v = 0,696 м/с, a = 1,01 м/с2.
Задача
2.3.6.
Кольцо
радиуса R
= 30 см вращается
по закону
рад вокруг оси, проходящей через точки
А
и
В
(рис.
2.3.7). Относительно кольца движется точка
М
по закону
см. Определить абсолютные скорость и
ускорение в момент времени 2 с, если OD
= 15 см.
Ответ: v = 1,39 м/с, a = 5,68 м/с2.
Задача
2.3.7.
Квадрат
со стороной
40 см
вращается
по закону
рад вокруг оси, проходящей через
точки А
и
В
и
совпадающей с диагональю квадрата
(рис. 2.3.8).
Относительно
квадрата по его стороне
движется
точка М
по закону
см.
Определить
абсолютные скорость и ускорение в момент
времени 2 с.
Ответ: v = 32,4 см/с, a = 92,1 см/с2.
Задача
2.3.8.
Диск
радиуса R
= 1,2 м вращается по закону
рад вокруг оси, перпендикулярной его
плоскости и проходящей через точку А.
Относительно
диска
движется точка М
по
ободу согласно
закону
см (рис. 2.3.9). Определить
абсолютные скорость и ускорение в момент
времени 2 с, если АВ
= 40 см
Ответ: v = 4,33 м/с, a = 16,8 м/с2.
Задача
2.3.9.
Треугольник
вращается вокруг оси АВ
по закону
рад (рис. 2.3.10). Относительно треугольника
по его гипотенузе движется точка М
по закону
см. Определить абсолютные скорость и
ускорение в
момент времени 1 с, если О1О = 25 см.
Ответ: v = 27 cм/с, a = 64,2 cм/с2.
Задача 2.3.10. В кулисно-ползунном механизме (рис. 2.3.11) стержень 2 движется влево замедленно. В момент времени, когда угол = 30, скорость и ускорение его равны v2 = 1 м/с, a2 = 1 м/с2. Определить угловую скорость и угловое ускорение кулисы 1 в заданном положении механизма, если h = 20 см.
Ответ: 1 = 1,25 рад/с, 1 = 4,16 рад/с2.
Задача
2.3.11.
Механизм
приводится в движение кривошипом 1,
который вращается с постоянной угловой
скоростью 1 = 1
рад/с (рис. 2.3.12). Относительно шатуна 2
перемещается точка М
по закону
см. Определить абсолютное ускорение
точки М
в момент времени 1/3 с, когда угол = 60,
если ОА
= СВ
= 25 см.
Ответ: a = 2,11 м/с2.
Задача 2.3.12. Конус
вращается
вокруг своей оси с угловой
скоростью
рад/с (рис. 2.3.13). Относительно конуса по
образующей движется точка M
согласно закону
см. Определить абсолютные скорость и
ускорение точки M
в момент времени t1
= 0,25 с, если
= 60.
Ответ: v = 0,839 м/с, a = 3,24 м/с2.
Задача
2.3.13.
Равнобедренный
прямоугольный треугольник вращается
по закону
рад. Относительно треугольника по его
гипотенузе движется точка M
согласно закону
см
(рис. 2.3.14). Определить
абсолютные
скорость и ускорение точки M
в момент времени 0,5 с, если OB
= OA
= 40 см.
Ответ: v = 20,3 см/с, a = 59,7 см/с2.
Задача
2.3.14.
Диск
радиуса R
= 40 см вращается с угловой скоростью
рад/с.
Относительно диска по его ободу движется
точка M
согласно закону
см (рис. 2.3.15). Определить абсолютные
скорость и ускорение точки M
в момент времени, когда точка в
относительном движении пройдет путь
равный четверти окружности диска, если
OC
= 10 см.
Ответ: v = 80,1 см/с, a = 48,2 см/с2.
Задача
2.3.15.
В
кулисно-ползунном механизме (рис.
2.3.16) стержень 1 вращается по закону
рад.
Определить абсолютное ускорение стержня
2 в момент времени, когда угол
= 30,
если
h
= 34,6 см.
Ответ: v = 1,31 м/с, a = 1,94 м/с2.
Задача 2.3.16. Плоский механизм (рис. 2.3.17) приводится в движение кривошипом 1, который вращается с постоянной угловой скоростью 1 = 2 рад/с. Кривошип при помощи камня 3 приводит в движение кулису 2, а она при помощи камня 4 – стержень 5. Определить абсолютное ускорение стержня 5 в момент времени, когда шарнир в точке B находится в крайнем левом положении, если OC = CD = 40 см, BC = 30 см.
Ответ: a = 10,6 cм/с2.
Задача 2.3.17. Кривошипно-кулисный механизм приводится в движение кривошипом 1 (рис. 2.3.18), который вращается с постоянной угловой скоростью 1 рад/с. Определить максимальную и минимальную угловую скорость качающейся кулисы 3, а также ускорение точки B кулисы в крайних её положениях, если 4OA = 2OC = CB = 80 см.
Ответ: 3min = 0, 3max = 1 рад/с, aB = 46,2 cм/с2.
|
|
|
Рис. 2.3.19 |
Определить скорость и ускорение кулисы 3 как функцию угла .
Ответ:
2.3.1.
а) б)
2.3.2
Рис. 2.3.3
Рис. 2.3.4.
Рис. 2.3.5
Рис. 2.3.6
Рис. 2.3.7
Рис. 2.3.8
Рис. 2.3.9
Рис. 2.3.10
Рис. 2.3.11
Рис. 2.3.12
Рис. 2.3.13
Рис. 2.3.14
Рис. 2.3.15
Рис. 2.3.16
Рис. 2.3.17
Рис. 2.3.18
