§1.3. Однородные уравнения.
Определение1. Функция
называется однородной функцией
измерения, если при любом значении
параметра
выполняется равенство:
Пример:
Определение2. Уравнение первого
порядка
называется однородным уравнением, если
функция
является однородной функцией нулевого
измерения.
По определению однородной функции:
Положим в этом тождестве
Таким образом, однородная функция
нулевого измерения зависит только от
частного
,
и определение однородного уравнения
можно дать в следующем виде:
Определение3. Однородным уравнением называется уравнение вида:
(1)
Положим в уравнении (1)
Пример:
Уравнение вида
будет однородным тогда и только тогда,
когда функции
и
являются однородными функциями одного
и того же измерения. Это следует из того,
что частное двух функций одного измерения
является функцией нулевого измерения.
Замечание: к однородным уравнениям
приводятся уравнения вида
,
где
(1)
Если
,
данное уравнение является однородным.
В противном случае делаем замену
переменных
,
(2) где
- новые переменные, а
- постоянные.
Выберем
таким образом, чтобы
(3)
Система (3) имеет единственное решение,
когда определитель системы не равен
нулю. В этом случае получим, что исходное
уравнение (1) имеет вид
.
Если же система (3) имеет равный нулю
определитель, то это означает, что
:
1) Пусть
.
В этом случае система (3) не имеет решения.
Из пропорциональности коэффициентов
следует, что уравнение (1) может быть
представлено в виде
.
Это сводится к уравнению с разделяющимися
переменными (из §1.2.). 2) Пусть
.
В этом случае система (3) имеет бесконечное
множество решений, а уравнение (1)
принимает вид
- уравнение с разделяющимися переменными.
Геометрическая интерпретация: в случае,
когда
,
числитель и знаменатель в уравнении
(1), приравненные к нулю, являются
уравнениями прямых, проходящих через
начало координат. В общем же случае эти
прямые через начало координат не
проходят. Если система (3) имеет единственное
решение, то с помощью замены переменных
(2),мы переносим начало координат в точку
пересечения этих прямых.
Пример:
Замена: 
§1.4. Линейные уравнения первого порядка.
Определение: Линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение, линейное
относительно неизвестной функции и её
производной.
Линейное уравнение имеет вид:
(1), где
,
функции
- непрерывные функции на
.
Уравнение (1) сводится к двум уравнениям
с разделяющимися переменными путем
искусственного приема. Представим
неизвестную функцию в виде произведения
двух новых функций:
.
Одной из функций мы можем распоряжаться
как угодно, а вторая функция должна быть
определена в зависимости от первой
таким образом, чтобы их произведение
удовлетворяло уравнению (1).
Пример:
Ищем функцию
из условия, что
1)
2)
.
Таким образом, решение уравнения:
.
Уравнение Бернулли.
К линейным уравнениям часто приводятся уравнения более сложного вида - уравнение Бернулли.
(2)
При
уравнение (2) - линейное;
при
можно разделить переменные;
при
уравнение (2) сводится к линейному
следующим образом: делим обе части
уравнения (2) на
и записываем в таком виде:
.
Если ввести вспомогательную неизвестную
функцию
,
то
.
Тогда уравнение (2) примет вид:
.
Получили линейное уравнение.