Теорема.

Если - частные решения уравнения (2), то функция является решением уравнения (2) при любых .

Доказательство:

Найдем производные:

Подставим в уравнение (2):

- линейная комбинация решений .

Вывод: если - решения уравнения (2) такие, что , то выражение является общим решением уравнения (2).

Из общего решения при любых заданных возможных начальных условиях может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.

Пусть заданы начальные условия:

,

причем точка ,где константы, то может быть любой. Подставляя начальные условия в общее решение, получим систему относительно .

Чтобы эта система имела единственное решение при любых правых частях необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был не равен нулю, т.е. (3)

Утверждение: если такие решения, что , то определитель (3) не будет равен нулю ни в одной точке .

Рассмотрим теперь уравнение с правой частью.

(4)

Уравнение без правой части будем называть соответствующим однородному уравнению (4).

Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Общее решение уравнения (4) можно составить как сумму общего решения соответственного однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения.

Общее решение можно записать в виде:

. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами

(5), где - постоянные величины.

Возьмём соответствующее ему однородное уравнение (6) и найдем общее решение такого уравнения.

Введем в рассмотрение функцию

Чтобы функция являлась решением уравнения (6), надо чтобы (7), т.е. будет являться решением. Уравнение (7) называется характеристическим. Чтобы составить характеристическое уравнение, нужно в данном уравнении (6) заменить единицей, а каждую производную величиной в степени, равной порядку производной.

Для корней квадратного уравнения (7) возможны три случая (предполагается, что ):

1)

При этом оба корня могут быть взяты в качестве показателей в функции , т.е имеем два частных решения (причем ясно, что ). Таким образом, общее решение в этом случае выглядит так: .

Пример:

2)

В этом случае непосредственно имеем только одно частное решение. Покажем, что в качестве второго решения можно взять функцию .

Подставим в уравнение (6):

Т.к. - двукратный корень, то сумма корней

Общее решение в этом случае имеет вид:

3) - комплексно-сопряженные корни.

В этом случае общее решение можно записать так:

, где - любые комплексные постоянные.

Для того, чтобы получить решение в действительной форме, воспользуемся правилом: если уравнение (6) с действительными коэффициентами имеет комплексное решение , то каждая их функций является решением этого уравнения. Действительно, дифференцируя и подставляя в уравнение (6), получим .

Т.к. комплексная функция равна нулю, когда равны нулю ее действительная и мнимая части, получим, что оба выражения в скобках равны нулю, т.е. являются решениями уравнения (6).

Замечание: Определение Показательной функцией с мнимым показателем степени называется комплексная функция - формула Эйлера, где параметр - любое действительное число. Комплексная функция дифференцируется так же, как если бы было просто постоянным числом. Итак, по формуле Эйлера , - частные решения уравнения (6), причем ясно, что их отношение не равно константе.. Согласно правилу, зная два частных решения, построим общее решение:

Пример:

. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

(1)

Общее решение такого уравнения имеет вид: , где -частное решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим случай, когда частное решение находится методом неопределенных коэффициентов.

а) Пусть правая часть в (1) имеет вид: , тогда для уравнения (1) частное решение будет иметь вид , где - многочлен той же степени, что и , причем, если не является корнем характеристического уравнения, то , иначе - это кратность корня.

Принимая решение в указанной форме, мы находим неизвестные коэффициенты многочлена по методу неопределенных коэффициентов.

Пример:

б) Пусть правая часть имеет вид:

Если не является корнями характеристического уравнения, то уравнение имеет частное решение вида:

Если являются корнями характеристического уравнения, то:

в) Пусть правая часть имеет вид:

, где - многочлены, то есть не являются корнями характеристического уравнения, то

где - многочлены, степень которых равна наивысшей из степеней многочленов или .

Если является корнем, то частное решение:

Случай а) получается из случая в) при , а случай б) получается из в) при .

Замечание. Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функции , а и - решения уравнений:

То общее решение данного уравнения: