5.1.2 Визначення параметрів емпіричних формул по способу найменших квадратів у випадку нелінійної залежності
Цей спосіб може привести до системи лінійних або до системи нелінійних рівнянь. Частково ця задача може бути вирішена графічними засобами Excel, коли до побудованого графіку добавляють лінію тренду з відповідними аналітичним виразом.
5.2 Індивідуальні завдання
Скористатися визначеною функцією, яка задана таблицею, лабораторної роботи №4, та наблизити її по методу найменших квадратів лінійною залежністю. Для цієї ж таблиці підібрати нелінійну залежність, яка кращим чином описує таблицю. Відобразити всі графіки.
5.3 Приклад виконання лабораторної роботи
Результати вимірів величин представлені у вигляді таблиці:
Розташуємо цю таблицю на листі Excel, як на рис. 5.2 .
Рисунок 5.2 – Вид таблиці на листі Excel
Відповідний протокол рішення має вигляд, як на рис. 5.3 .
Рисунок 5.3 – Протокол рішення лінійної залежності
Згідно з протоколом рішення, шукана лінійна залежність:
y = - 4,25x - 1,9 .
Для підбору нелінійної залежності побудуємо графік y = f(x) ,для чого виділяємо 2 стовпчика (В3:С8) . Скористаємось майстром діаграм. На першому кроці вибираємо тип діаграми „точечная” .
Після побудови графіка добавимо лінію тренда (апроксимуючу функцію).
Поетапне додавання лінії тренда показано на рис. 5.4 , рис. 5.5 , рис. 5.6 .
Рисунок 5.4 – Крок перший: „Добавить линию тренда”
Рисунок 5.5 – Крок другий: „Выбор типа”
Рисунок 5.6 – Крок третій: „Параметры: показывать уравнение на диаграме”
Протокол рішення побудови лінії тренда має вигляд, як на рис. 5.7 .
Рисунок 5.7 – Протокол рішення побудови лінії тренда
6 Лабораторна робота № 6 тема: Наближені методи розв’язку звичайних диференційних рівнянь
6.1. Теоретичні відомості
Розв’язання задачі Коши для диференційного рівняння
(6.1)
полягає в пошуку функції у(х) , що задовольняє рівнянню (6.1) та початковій умові
у(х0) = у0 , (6.2)
де х0 , у0 – надані числа.
Чисельні методи надають розв’язок задачі у вигляді таблиці функції у(х) на даному інтервалі [a , b] .
Для розв’язання означеної задачі застосовують наступні методи:
а) Метод Ейлера для рівняння (6.1) з умовою (6.2) обчислює таблицю значень
yi = y(xi) ,
де xi = x0 + ih (і = 0, 1, 2, …, n) , h = (b-a) / n ,
[a , b] – інтервал, на якому шукається рішення.
Значення уі+1 розраховується за формулою
yi+1 = yi + hƒ(xi , yi) (і = 0, 1, 2, …, n) .
б) Метод Рунге-Кутта : на кожному кроці обчислювання виконується за формулою
,
де
; 
;
.
6.2 Індивідуальні завдання
Застосовуючи два чисельні методи (Ейлера, Рунге-Кутта) знайти розв’язок нелінійного диференційного рівняння першого порядку (задача Коши). Розв’язок обчислити на даному інтервалі [a , b] . Кількість кроків інтегрування вибрати з інтервалу 30 – 50 . За отриманою таблицею побудувати графіки цієї функції та з’ясувати вид лінії тренду.
6.2.1
; у0(1,8)
= 2,6
; х
є [1,8
; 2,8]
6.2.2
; у0(0)
= 0
; х
є [0
; 20]
6.2.3
; у0(1,6)
= 4,6
; х
є [1,6
; 2,6]
6.2.4
; у0(0)
= 1 ; х
є [0
; 2]
6.2.5
; у0(1,8)
= 2,6
; х
є [1,8
; 2,8]
6.2.6
; у0(-2)
= 1
; х
є [-2
; 2]
6.2.7
; у0(0,9)
= 1,7
; х
є [0,9
; 1,9]
6.2.8
; у0(0)
= 1
; х
є [0
; 3]
6.2.9
; у0(1,2)
= 1,8
; х
є [1,2
; 2,2]
6.2.10
; у0(0)
= 1
; х
є [0
; 3]
6.2.11
; у0(0,5)
= 1,8
; х
є [0,5
; 1,5]
6.2.12
; у0(0)
= 0
; х
є [0
; 10]
6.2.13
; у0(0,3)
= 0,9
; х
є [0,3
; 1,3]
6.2.14
; у0(0)
= 1
; х
є [0
; 5]
6.2.15
; у0(1,2)
= 1,4
; х
є [1,2
; 2,2]
6.2.16
; у0(0)
= 1
; х
є [0
; 5]
6.2.17
; у0(0,4)
= 0,8
; х
є [0,4
; 1,4]
6.2.18
; у0(0)
= 1
; х
є [0
; 10]
6.2.19
; у0(1,4)
= 2,5
; х
є [1,4
; 2,4]
6.2.20
; у0(0)
= 0
; х
є [0
; 15]
6.2.21
; у0(1,7)
= 5,3
; х
є [1,7
; 2,7]
6.2.22
; у0(0)
= 0 ; х
є [0
; 15]
6.2.23
; у0(1,4)
= 2,2
; х
є [1,4
; 2,4]
6.2.24
; у0(0)
= 0
; х
є [0
; 1]
6.2.25
; у0(0)
= 0
; х
є [0
; 5]
6.2.26
; у0(1,7)
= 5,3
; х
є [1,7
; 2,7]
6.2.27
; у0(0)
= 0 ;
х
є [0
; 1]
6.2.28
; у0(0,2)
= 0,25
; х
є [0,2
; 1,2]
6.2.29
; у0(0)
= 0
; х
є [0
; 1]
6.2.30
; у0(0)
= 0
; х
є [0
; 1]
6.3 Приклад виконання лабораторної роботи
Знайти розв’язок нелінійного диференційного рівняння
; у0(1,4)
= 2,2
; х
є [1,4
; 2,4]
.
6.3.1 Метод Ейлера
Вирішимо задачу у середовищі Excel, для чого розмістимо початкові значення та саму таблицю значень на відповідному листі Excel, як показано на рис. 6.1 .
Рисунок 6.1 – Таблиця початкових значень на листі Excel
Побудуємо графік функції та додамо відповідну лінію тренду, відповідно, як на рис. 6.2 .
Рисунок 6.2 – Протокол рішення метода Ейлера
6.3.2 Метод Рунге-Кутта
Для вирішення задачі цим методом додамо модуль, на якому запишемо відповідну процедуру.
Код процедури:
Побудуємо графік функції та додамо лінію тренду відповідно, як на рис. 6.4 . Це і є рішення метода Рунге-Кутта .
Рисунок 6.3 – Протокол рішення метода Рунге-Кутта
7 ЛІТЕРАТУРА
7.1 В.В.Иванов. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие.-Киев: Наук.Думка, 1986.- 584с.
7.2 С.М.Ермаков, Г.А.Михайлов. Курс статистического моделирования.- М.: Наука, 1976.- 320 с.
7.3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Уч. пос.- М.: Высш.школа, 1990.
7.4 Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Уч. пос.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.- 296 с.
7.5. Бабенко К.И. Основы численного анализа.- М.: Наука, 1986.- 744 с. (10800 экз.)
7.6 Самарский А.А., Гулин А.В. Численне методы: Уч. пос. для вузов.- М.: Наука, 1989.- 432 с. (36000 экз.)
7.7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.- М., 1962, Т.1,2.
7.8. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта. М., 1970
7.9.Калиткин Н.Н. Численные методы / Под ред. А.А. Самарского.- М., 1978.
7.10. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений / Пер. с англ. – М., 1955.
7.11. Положий Г.Н. и др. Математический практикум.- М., 1960.
7.12. Сальвадоре М. Дн. Численне методы в технике / Пер. с англ.- М., 1955.