8. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

Теорема Ферма: Если дифференцируемая на промежутке X функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f (x) = 0.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на промежутке X и в точке x  X принимает наименьшее значение.

Тогда f(x₀ + x)  f(x₀), если х₀+xХ и, следовательно, величина y= f(x₀ + x) – f(x₀)  0 при достаточно малых x независимо от знака х.

Отсюда y/x  0 при х > 0 и y/х  0 при х < 0. Переходя к пределу при x  0+ (справа) и при x  0– (слева), получим, что предел справа больше либо равен 0, а слева – меньше либо равен 0.

По условию функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, следовательно, ее предел при x  0 не должен зависеть от способа стремления x  0 (справа или слева), откуда следует, что f '(x₀) = 0.

Аналогично рассматривается случай, когда функция f(x) принимает в точке x₀ наибольшее значение.

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наи­большего или наименьшего значения, достигаемого внутри проме­жутка X, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Роля: Пусть функция у=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a, b]

2) дифференцируема па интервале (a, b)

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка, в которой производная функция равна нулю.

Доказательство:

На основании теоремы Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего М и наименьшего т значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, то по условию они равны (т.е. т=М), а это значит, что функция тождественно постоянна на отрезке [a, b]. Тогда производная равна нулю во всех точках этого отрезка. Если же хотя бы одно из этих значений – максимальное или минимальное – достигается внутри отрезка (т.е. т < М), то производная в соответствующей точке равна нулю в силу теоремы Ферма.

Отметим геометрический смысл теоремы Ролля: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равна нулю.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Пусть функция у=f(x), определенная на [a, b], удовлетворяет сле­дующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a, b];

2) дифференцируема на интервале (a, b);

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одни такая точка х₀(a, b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. f '(x₀)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Доказательство:

Введем новую функцию g(x) следующим образом:

g(x) = f(x) – (x-а)(f(b)-f(a))/(b-a).

Функция g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке [a, b]; дифференцируема на интервале (a, b) и принимает на его концах равные значения:

g(a) = g(b) = f(a)

Следовательно, существует точка х₀  (а_, b) такая, что g'(х₀) = 0 или

g'(x) = f'(x) – (f(b)-f(a))/(b-a) = 0, откуда

f '(x) = (f(b)-f(a))/(b-a).

Заключение теоремы Лагранжа может быть записано и в виде:

f(b) – f(a) = f ()(b – a)