- •1. Производная, ее геометрический, механический, экономический смысл. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
- •2. Дифференцируемость функций. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- •3. Правила дифференцирований. Производная суммы, произведения и частного.
- •4. Производные обратной, сложной, параметрически заданной функций. Производная функции, заданной неявно.
- •5. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.
- •6. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •7. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •8. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •10. Формула Тейлора. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •9. Правило Лопиталя.
- •11. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.
- •12. Монотонность функции. Достаточное условие строгой монотонности. Необходимое и достаточное условие монотонности.
- •13. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
- •14. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.
- •15. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •16. Асимптоты графика функции.
- •17. Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •18. Применение производной в экономической теории.
9. Правило Лопиталя.
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Случай 1: неопределенность вида [0/0]
Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0. Пусть lim х→xо f(x) = 0, lim х→xо g(x) = 0. Если существует lim х→xо f '(x)/g'(x), то существует lim х→xо f(x)/g(x) = lim х→xо f '(x)/g'(x).
Для простоты будем предполагать, что функции f(x) и g(x), а также их производные непрерывны в точке х0, причем
lim х→xо f(x) = f(x0) = 0 и lim х→xо g(x) = g(x0) = 0
В этом случае lim х→xо f(x)/g(x) = lim х→xо (f(x)- f(x0))/(g(x)- g(x0))
Применяя теорему Лагранжа для функций f(x) и g(x) на отрезке [x, х0], получим
lim х→xо f(x)/g(x) = lim х→xо (f '(x1)(х-х0))/(g'(x2)(х-х0)) = lim х→xо f '(x1)/g'(x2)
где х < х1 < х0, х < х2 < х0.
При х х0 в силу непрерывности производных f '(x) и g'(x) имеем
f '(х1) f '(х0) и g'(х2) g'(х0)
Используя теорему о пределе частного двух функций, получаем:
lim х→xо f(x)/g(x) = lim х→xо f '(x)/g'(x).
Замечания:
1) Если производные функций удовлетворяют условию теоремы, т.е. они дифференцируемы, их пределы равны нулю и существует предел частного их производных, тогда
lim х→xо f(x)/g(x) = [0/0] = lim х→xо f '(x)/g'(x) = [0/0] = lim х→xо f ''(x)/g''(x)
2) Теорема остается верной, если х→х0+0, х→х0-0, х→+∞, х→-∞.
Случай 2: неопределенность вида [∞/∞]
Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0. Пусть lim х→xо f(x) = ∞, lim х→xо g(x) = ∞. Если существует lim х→xо f '(x)/g'(x), то существует lim х→xо f(x)/g(x) = lim х→xо f '(x)/g'(x).
Замечания:
1) Если производные функций удовлетворяют условию теоремы, т.е. они дифференцируемы, их пределы равны бесконечности и существует предел частного их производных, тогда
lim х→xо f(x)/g(x) = [∞/∞] = lim х→xо f '(x)/g'(x) = [∞/∞] = lim х→xо f ''(x)/g''(x)
2) Теорема остается верной, если х→х0+0, х→х0-0, х→+∞, х→-∞.
10. Формула Тейлора. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
Пусть дан многочлен Р(x) = а0 + а1х + а2х2 + а3х3 + а4х4 +...+ аn хn.
Разложим многочлен по степеням (х-х0).
Объединим х=(х0+(х-х0)).
Р(x) = а0 + а1(х0+(х-х0)) + а2(х0+(х-х0))2 + а3(х0+(х-х0))3 +...+ аn (х0+(х-х0))n =
= (а0 + а1х0 + а2х02 + а3х03 +...+ аn х0n) + А1(х-х0) + А2(х-х0)2 +...+ Аn (х-х0)n =
= а0 + А1(х-х0) + А2(х-х0)2 +...+ Аn (х-х0)n
Найдем А1, А2,…, Аn.
Р(x) = А1 + 2А2(х-х0) +...+ nАn (х-х0)n-1
Р(x0) = А1
Р(x) = 2А2 + 3*2А3(х-х0) +...+ n(n-1)Аn (х-х0)n-2
А1 = Р(x0)
Р(x0) = 2А2
А2 = Р(x0)/2
Р(x) = 3*2А3 + 4*3*2А4(х-х0) +...+ n(n-1)(n-2)Аn (х-х0)n-3
Р(x0) = 3*2А3
А3 = Р(x0)/3*2 = Р(x)/3!
Аn = Р(n)(x0)/n!
Р(x) = P(x0) + Р(x0)(х-x0) + Р(x0)/2! (х-x0)2 +...+ Р(n)(x0)/n! (х-x0)n.
Пусть функция f(x) имеет в точке х0 и некоторой ее окрестности производную до (п+1)-го порядка включительно.
Пусть х≠х0 – точка из указанной окрестности. Тогда между точками х и х0 найдется такая точка ξ, что справедлива формула:
f (x) = f(x0) + f (x0)(х-x0) + f (x0)/2! (х-x0)2 +...+ f (n)(x0)/n! (х-x0)n + f (n+1)(ξ)/(n+1)! (х-x0)n+1,
где f (n+1)(ξ)/(n+1)! (х-x0)n+1 – остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора при х0=0):
f (x) = f(0) + f (0)х + f (0)/2! х2 +...+ f (n)(0)/n! хn + 0(хn)
Разложение элементарных функций:
1) f (x) = ex
f (x) = f (x) = f (n)(x) = ex
f (0) = f (0) = f (n)(0) = e0 = 1
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! +…+ xn/n! + 0(xn)
2) f (x) = sinx
f (x) = cosx, f (x) = - sinx, f (x) = - cosx, f (4)(x) = sinx
f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = -1, f (4)(0) = 0
sinx = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! +…+ (-1)n-1*x2n-1/(2n-1)! + 0(x2n)
3) Аналогично: cosx = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! +…+ (-1)n-1*x2n-2/(2n-2)! + 0(x2n-1)
4) f (x) = (1+x)α
(1+x)α = 1 + αx + α(α-1)x2/2! + α(α-1)(α-2)x3/3! +…+ α(α-1)(α-2)…(α-n+1)xn/n! + 0(xn)
5) f (x) = ln(1+x)
f (x) = 1/(1+x), f (x) = -1/(1+x)2, f (x) = 2/(1+x)3, f (4)(x) = -6/(1+x)4
f (0) = 1, f (0) = -1, f (0) = 2, f (4)(0) = -6
f (n)(x) = (-1)n-1(n-1)!/(1+x)n
ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - x4/4 +…+ (-1)n-1xn/n + 0(x)