Домашнее задание

1. Определить точку n, с которой совпадает конец вектора если его

начало совпадает с точкой М (1, 2,- 3).

2. Вектор составляет с осями координат острые углы при и . Найти его координаты, если .

3. Векторы образуют угол , причем . Определить .

4. Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что .

5. Три силы , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если известно, что .

6. Найти орт вектора .

7. Векторы совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.

8. Даны вершины треугольника: . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

9. Зная векторы, служащие сторонами треугольника , найти векторы, соответственно коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.

10. На плоскости даны четыре точки: . Определить разложение векторов , принимая в качестве базиса векторы .

11. Даны три вектора: . Найти разложение вектора по базису .

Ответы к задачам

4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. 22. 10. .

11. .

13. . 14. . 16. .

Ответы к домашнему заданию

1. . 2. . 3. .

5. . 6. . 7..

8. .

9. ,

где имеют направление внутренних углов А, В и С имеют направления биссектрис одноименных внешних углов треугольника.

10. . 11. .

Занятие 2

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов называется число ; .

Свойства скалярного произведения:

1) (переместительное);

2) (сочетательное относительно числового множителя);

3) (распределительное относительно суммы векторов).

Если , то , .

Условие перпендикулярности векторов : .

Длина вектора : .

Физический смысл скалярного поизведения: если вектор представляет силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа А этой силы определяется равенством .

Примеры решения задач

Задача 1. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где таковы, что .

Решение. Диагонали параллелограмма есть векторы и . Вычислим длину вектора : .

Аналогично вычисляется длина вектора .

Задача 2. Найдите вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Решение. Обозначим вектор , тогда из условий задачи

или ,

тогда . Итак: .

Задача 3. Найти проекцию вектора на направление вектора .

Решение. . По формуле проекции вектора на ось будет иметь место равенство

.

Задача 4. Даны векторы: .

Проверить, есть ли среди них коллинеарные. Найти .

Решение. Условие коллинеарности имеет вид . Этому условию удовлетворяют векторы . Следовательно, они коллинеарны. Найдем длины

векторов : .

Угол между векторами определяется по формуле .

Тогда , .

Используя формулу , получим .

Задача 5. На материальную точку действуют силы . Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении точки из положения в положение .

Решение. Найдем силу и вектор перемещения . , тогда искомая работа .

Задачи

1. Векторы взаимно перпендикулярны, а вектор образует с ними углы . Зная, что , найти: 1) ; 2) .

2. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если известно, что .

3. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

4. Зная, что , определить, при каком значении коэффициента векторы окажутся перпендикулярными.

5. Даны вершины четырехугольника: . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

6. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

7. Даны силы . Найти работу их равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку .

8. Даны вершины треугольника: . Найти проекцию вектора на вектор .

9. Найти вектор , перпендикулярный векторам , если известно, что его проекция на вектор равна единице.

10. Сила, определяемая вектором , разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .

11. Даны вершины треугольника: . Найти его внутренний угол при вершине А и внешний угол при вершине В.

12. Даны три последовательные вершины параллелограмма: . Найти его четвертую вершину D и угол между векторами .

13. На оси найти точку, равноудаленную от точек .

14. Доказать, что треугольник с вершинами прямоугольный.