3. Методические указания по изучению разделов

«РЯДЫ.

Кратные и криволинейные интегралы»

Тема 1.1

Литература: [1], [2], [3], [4], [8], [7], [9].

Знать: понятие числового ряда, частичной суммы, остатка ряда, сходимости ряда; необходимый признак сходимости числового ряда, достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши), понятия знакопеременного и знакочередующихся рядов, признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

Уметь: решать вопрос о сходимости ряда, пользуясь непосредственным определением сходимости; применять признаки сходимости при исследовании рядов на сходимость.

Тема 1.2

Литература: [1], [2], [3], [4], [7], [8], [9].

Знать: понятие функционального ряда, понятие области сходимости функционального ряда, понятие степенного ряда, рядов Тейлора и Маклорена, понятие равномерной сходимости.

Уметь: находить область сходимости функционального ряда; находить сумму ряда, используя возможность дифференцирования и интегрирования ряда; раскладывать в степенные ряды элементарные функции.

Тема 1.3

Литература: [1], [2], [4], [7], [8], [9].

Знать: понятие ряда Фурье, условия представления функции рядом Фурье, способы нахождения коэффициентов ряда Фурье; особенности представления рядом Фурье четной, нечетной и -периодической функции.

Уметь: раскладывать в ряд Фурье -периодическую, четную, нечетную, -периодическую функции, а также функцию, заданную на конечном промежутке.

Тема 1.4

Литература: [1], [2], [4], [6], [7], [8], [9].

Знать: понятие интеграла Римана по многообразию, свойства интеграла, физический и геометрический смысл двойного, тройного интегралов и криволинейного интеграла первого рода; переход в двойном интеграле к полярной системе координат, переход в тройном интеграле к цилиндрической и сферической системам координат: понятие криволинейного интеграла второго рода, его физический смысл, вычисление.

Уметь: вычислять двойные, тройные и криволинейные интегралы, переходить в двойном интеграле к полярным координатам, переходить в тройном интеграле к цилиндрическим и сферическим координатам.

4. Экзаменационные вопросы

1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения.

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак Даламбера, радикальный и интегральный признак Коши (последние два только сформулировать).

3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

4. Понятие равномерной сходимости функционального ряда. Признак равномерной сходимости.

5. Степенные ряды. Возможность почленного дифференцирования степенного ряда.

6. Степенные ряды. Возможность почленного интегрирования степенного ряда.

7. Ряды Тейлора и Маклорена.

8. Разложение в степенной ряд функций .

9. Разложение в степенной ряд функций , .

10. Биномиальный ряд. Бином Ньютона.

11. Разложение в ряд Фурье -периодической функции.

12. Ряд Фурье для четной, нечетной и -периодической функции.

13. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на конечном промежутке.

14. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на конечном промежутке по синусам и косинусам.

15. Задачи, приводящие к понятию двойного и тройного интегралов. Понятие двойного и тройного интегралов.

16. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода.

17. Понятия криволинейного интеграла первого рода.

18. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла второго рода.

19. Понятие криволинейного интеграла второго рода. Свойства криволинейного интеграла второго рода.

20. Вычисление двойного интеграла.

21. Переход в двойном интеграле к полярной системе координат.

22. Вычисление тройного интеграла.

23. Переход в тройном интеграле к цилиндрической системе координат.

24. Переход в тройном интеграле к сферической системе координат.

25. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

26. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.