6.3. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода

Пусть функция определена и непрерывна на дуге . Разобьем дугу на частей точками . На каждой дуге произвольным образом выберем точку и составим интегральную сумму , где - длина дуги . Будем увеличивать число точек деления дуги на части. Если существует независимо от способа разбиения дуги на части и выбора точек , то он называется криволинейным интегралом 1-го рода по дуге от функции и обозначается .

Если кривая задана явно уравнением , где , то

. (6.14)

Если дуга задана параметрически , где , а функции и непрерывны на , то

. (6.15)

Пример 14. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода , если – отрезок, соединяющий точки и (рис. 19).

Решение. Запишем уравнение прямой , содержащей отрезок , в виде . Так как , то , так как , то . Отсюда и . Получили уравнение отрезка : , где . При этом . В соответствии с формулой (6.14)

.

Ответ: .

Пусть функции и непрерывны на дуге . Разобьем дугу на частей точками . Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим интегральные суммы и . Будем увеличивать число точек разбиения дуги на части так, чтобы и при .

Криволинейным интегралом 2-го рода по координате от функции по дуге называется , если этот предел существует независимо от способа разбиения дуги на части и выбора точек . Аналогично определяется .

Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода

.

Если дуга задана явно уравнением , где , то и

. (6.16)

Если кривая задана параметрически , где и функции и непрерывны на , то , и

. (6.17)

Пример 15. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода , если - отрезок, соединяющий точки и .

Решение. Уравнение отрезка имеет вид , где (см. пример 13). Поэтому воспользуемся формулой (6.16)

.

Ответ: 36.

Оглавление

1. Рабочая программа разделов

«РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»...1

2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………. 2

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ

РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ

ИНТЕГРАЛЫ»..………………………………………………….2

4. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ…………………………..3

5. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА……………………………………...5

6. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ……………21

6.1. Ряды………………………………………………………21

6.2. Двойные и тройные интегралы…………………………30

6.3. Криволинейные интегралы 1 и 2 рода………………….41