При вытеснении нефти водой

(по Чарному–Чен Чжун-Сяну)

Рис.6.12.Зависимость насыщенности на фронте вытеснения и средней насыщенности от параметра m₀=m_в/m_н для случая вытеснения нефти водой (по Чарному–Чен Чжун-Сяну)

Результаты расчетов могут быть успешно использованы для практических целей: при расчетах безводного периода работы несовершенных скважин, при оценке степени извлечения нефти в удельном объеме дренирования и за период истощения, при совместном отборе нефти и воды, а также для оценки распределения насыщенности вдоль пласта при фильтрации двухфазной смеси и устранения многозначности функции f '₁(s) путем введения скачка насыщенности (рис.6.13 и рис.6.13').

Рис. 6.13. Схема распределения насыщенности при прямолинейной фильтрации	Рис. 6.13'. Схема распределения насыщенности при плоско-радиальной фильтрации

6.7.5. Скачки насыщенности. С помощью решения (6.22), зная положение точки с насыщенностью s в момент t=0, можно определить ее положение в любой момент времени t>0. Дифференцируя (6.22) по времени t находим:

. (6.70)

Нетрудно заметить, что выражение (6.70) представляет собой скорость распределения насыщенности.

Вид кривых f (s) и f '(s) показан на рис. 6.6. Из графиков видно, что для одного и того же значения функции f '(s) существуют два значения насыщенности. Это говорит о многозначности s, что противоречит физическому смыслу. Чтобы избежать указанного парадокса, вводят понятие «скачка насыщенности» (рис. 6.13), который приводит к однозначности распределения насыщенности. Действительно, из графика (см. рис. 6.13), построенного по формуле (6.33), видно, что одной и той же точке пласта соответствуют три значения насыщенности (1, 3, 5), что физически невозможно.

Вводя понятие скачка насыщенности из условия равенства площадей сегментов по обе стороны скачка (DS_1,2,3=DS_3,4,5), получим линию 1–3–5 (см. рис. 6.13), где насыщенность меняется скачком от s₂ до s₁.

Заметим, что скачок насыщенности представляет собой понятие математическое, не имеющее места в реальных условиях. В действительности же существует конечная длина d (рис. 6.14), где значение насыщенности падает от s_ф, до нуля перед фронтом вытеснения. Размер этой зоны (d) зависит от капиллярных свойств среды и по сравнению с «переходной зоной» – зоной смеси (1+2) очень мал. Часто в расчетах этой зоной пренебрегают (d=0) и рассматривают лишь переходную зону. Пусть жидкость (1) вытесняет жидкость (2) (см. рис. 6.14). Объем первой фазы в начальный момент (t=0) при s(х)=s=1 запишется интегралом

(6.71)

Рис. 6.14. Распределение насыщенности при вытеснении нефти водой

В момент времени t объем вторгшейся фазы (воды) в этой зоне выразится формулой

(6.72)

где х_ф – координата фронта или скачка.

За время t через границу х=0, оче видно, войдет объемное количество жидкости wt равное при S(x)=S=1

(6.73)

Принимая для простоты насыщенность нефтью переходной зоны в начальный момент s₂(х, 0)=1, что равнозначно s₁(х, 0)=0, из (6.73) получаем

(6.74)

а из (6.33) следует

(6.75)

или

(6.76)

Подставляя (6.76) в (6.74), находим

(6.77)

где

(6.78)

Здесь s₀ – насыщенность в сечении х=0. В нашем случае s₀=1.

Согласно (6.28) имеем f(s)=f(1)=1, (1)=0. Тогда уравнение (6.77) упрощается и примет вид

или

(6.79)

Из этого уравнения определяется фронтальная насыщенность. Средняя насыщенность в переходной зоне определится как частное от деления объема вторгшейся жидкости (воды) за время t на поровый объем mx_ф, т. е.

Учитывая (6.75), получаем формулу (6.68). Анализы показывают, что формулы (6.68) остаются справедливы и для плоскорадиальной двухфазной фильтрации.

Для плоскорадиальной двухфазной фильтрации схема распределения насыщенности показана на рис.6.13' в соответствии с уравнением (6.33)'.

6.7.6. Понятие о трехфазной фильтрации. В реальных условиях часто приходится иметь дело с трехфазной фильтрацией (когда смесь состоит из трех компонентов, например, нефти, воды и свободного газа). Решение таких задач оказываются более сложными. Теорию фильтрации трехфазной смеси можно построить исходя из теории движения двухфазных жидкостей Бакли–Леверетта.

Расходы каждой из фаз в смеси записываются как и для двухфазной системы

, (6.80)

где

 – относительные фазовые проницаемости как функции насыщенности, определяемые экспериментальным путем;

m – коэффициент абсолютной вязкости i-й фазы в смеси;

S (x) – площадь фильтрации.

К уравнениям движения следует добавить уравнения неразрывности

. (6.81)

Так как

s₁+s₂+s₃=1, (6.82)

то в системе (6.81) независимых переменных только два. Справедливо также, что суммарный объемный расход является только функцией времни

Q=Q₁+Q₂+Q₃=Q(t). (6.83)

Далее расчеты ведут по следующей схеме. Из системы уравнений движения (6.80) и уравнений неразрывности (6.81) находятся газонефтяной и водоняфтяной факторы, а затем через них получают формулы для функций Таким образом, зная газонефтяной и водонефтяной факторы, по промысловым данным подсчитываются значения

По экспериментальным данным для фиксированных значений насыщенности газом, давлений и физических параметров жидкостей строят зависимости типовой вид которых представлен на рис.6. 15 и рис.6. 16.