Сложение и вычитание

        По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a₁ + b₁i ) + (a₂ + b₂i ) +...+  (a_n + b_ni ) = (a₁ + a₂ + ...+ a_n ) + (b₁+ b₂+...+ b_n ) i = a + bi

        Операция введена, так как получили элемент того же множества.

        Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a₁ + b₁i) – (a₂ + b₂i ) определяется из условия:

(x + iy) + (a₂ + b₂i ) = (a₁ + b₁i)  .

        Из правила сложения получаем:

x + a₂ = a₁, y + b₂ = b₁.

        То есть x = a₁ – a₂,   y = b₁ – b₂ и разность

(a₁ + b₁i ) – (a₂ + b₂i ) = (a₁ – a₂ ) + (b₁– b₂) i.

Умножение комплексных чисел

        Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению  модулей сомножителей, а аргумент –  сумме аргументов сомножителей.

        Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

        Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a₁ + b₁i) (a₂ + b₂i ) = x + iy.

Имеем .

Согласно определению умножения можем записать:

.

Распишем:      ,

,

.

Окончательно получим:

.

        Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

        Если  z  = а + b i  –  комплексное число, то число  называется сопряжённым с числом z . Его обозначают при помощи черты над числом.

, но , следовательно, .

Деление комплексных чисел

.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число (a₁ + b₁i )  на другое комплексное число  (a₂ + b₂i ), то есть найти , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

.

        В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.

Возведение в степень комплексных чисел

        Операцию возведения в степень удобнее выполнять, когда комплексное число записано в тригонометрической или впоказательной форме.

1. ,

2. .

Для возведения комплексного числа в степень нужно модуль возвысить в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Извлечение корня

Определение. Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.

Из этого определения следует, что из равенства  следует равенство .

        Из равенства комплексных чисел следует , а аргументы отличаются на число, кратное  ; . Отсюда , . Здесь  есть арифметическое значение корня, а k  – любое целое число. Таким образом, получается формула .

В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k  = 0, 1, 2, … , n  -  1.

        Докажем этот факт. Действительно, правые части в этой формуле различны тогда, когда аргументы  и  отличаются на величину, не кратную  , и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются на величину, кратную  . Поэтому разность

не может быть кратна  .  Из этого результата и следует, что любым подряд взятым n целым числам k соответствуют n различных значений корня.

Пусть теперь k₃–  целое число, не входящее в эту последовательность подряд взятых значений k . Это число можно представить в виде k₃= gn + k_i, где g  –  целое число, а k_i –  одно из чисел этого ряда, поэтому , то есть значению k₃ соответствует то же значение корня, что и значению k_i.

Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.

Пример 1. Решить уравнения а) x² + 25 = 0, б) x³ + 27 =0.

Решение. а) , то есть первое уравнение имеет два мнимых корня: x₁ = 5i, x₂ = -5i;

б) воспользуемся формулой x³ + a³ = (x +a) (x² - ax + a²),  x³ + 27 = (x +3) (x² - 3x + 9). Приравнивая нулю каждый из множителей, получаем один корень действительный и два комплексных:

;

x₂ и x₃ –  сопряжённые комплексные числа.

Пример 2. Вычислить, изобразить на плоскости, записать в тригонометрической и показательной форме :  а) ;            б) ( i )ⁱ.         

Решение. а) Сначала запишем числа в алгебраической форме, выполнив

операцию деления (см. п. Деление комплексных чисел). Домножим на сопряжённое число, и, учитывая, что i² = -1, получим:

= - 3 -  3i ;

х = Re z  = - 3, у = Jm z  = - 3, что соответствует точке на плоскости (- 3, - 3) (см рис.3).

Модуль комплексного числа:

.

        Так как точка находится в третьей четверти, то аргумент комплексного числа будет:

,

Записываем тригонометрическую и показательную формы комплексного числа:

.

б) z = i ⁱ, i  = 0 + 1 ·  i , х = Re z  = 0, у = Jm z  = 1,

.

–  действительное число (точка на оси ох) (см. рис. 4).

Пример 3. Вычислить .

Решение. Представим число в тригонометрической (или показательной) форме, для чего найдём его модуль и аргумент:

- 1 = - 1 + 0 ·  i,   х = - 1, у = 0,

, k  = 0, 1, 2.

k  = 0, ;

k  = 1, 

k  = 2,