1.4. Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой  , то разделив (1) на  , получаем уравнение прямой в отрезках

 ,

 

где  ,  . Прямая пересекает ось   в точке  , ось   в точке  .

Пример 3. Дано общее уравнение прямой  . Записать данное уравнение прямой в отрезках.

Решение.  , разделим на 7, запишем  . Это уравнение в отрезках. Оно говорит о том, что данная прямая проходит через точки  ,  , т. е. Отсекает на положительной части оси абсцисс  , на отрицательной части оси ординат – (-7).

Пример 4. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки 

Решение. Уравнение искомой прямой можно записать в отрезках  .

Легко можно привести уравнение к общему виду  .

Ответ:  .

Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

 (12)

Если прямые l₁ и l₂ пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12).

Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l₁ и l₂, надо решить систему уравнений (12):  1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l₁ и l₂ пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l₁ и l₂ параллельны;  3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l₁ и l₂ совпадают.

Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Пример 10. Пересекаются ли прямые 3х+4у-1=0 и 2х+3у-1=0 ?

Решение: Решим систему уравнений: система имеет единственное решение, следовательно прямые пересекаются. Точка пересечения прямых имеет координаты (-1;1).

Пример 11. Параллельны, ли прямые 2х-у+2=0 и 4х-2у-1=0?

Решение: Решим систему уравнений   Эта система не имеет решений, следовательно прямые параллельны.

Пример 12. Совпадают ли прямые х+у+1=0 и 3х+3у+3=0?

Решение: Совпадают, так как коэффициенты пропорциональны.

Пример 13. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых х+у-1=0, х-у+2=0 и через точку (2,1).

Решение: Находим координаты точки пересечения двух данных прямых линий. Для этого решаем данные уравнения совместно. Складывая, находим: 2х+1=0, откуда   Вычитая из первого уравнения второе, получаем: 2у-3=0, откуда . Далее, остается составить уравнение прямой линии по двум точками () и (2;1)  Искомое уравнение будет , или  или откуда  или x+5y-7=0

Угол между прямыми в пространстве

            Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l₁:  

l₂:  

 

            Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением: = ₁ или  = 180⁰ - ₁. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если  - полярный угол нормали, р - длина отрезка  (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением  точки  от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, =0). Если даны координаты ,  точки  и нормальное уравнение прямой , то отклонение  точки от этой прямой может быть вычислено по формуле

.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки  от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки . Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: .

Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель , определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

 Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.  Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П₁), то для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h.

Нажмите на картинку для просмотра...

На ортогональном чертеже строим отрезок A1M1перпендикулярно h1. Далее на прямой h1 откладываем отрезок M1M0 равный А2В2. Длину перпендикуляра АM можно найти способом прямоугольного треугольника А1M1M0: |АM| = |А1M0|.

 Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямой а общего положения.

Нажмите на картинку для просмотра...

Решение задачи проводится по следующей схеме: Через заданную точку M проводится плоскость перпендикулярная заданной прямой а. Плоскость задается двумя пересекающимися прямыми, фронталью (f) и горизонталью (h):  = h  f. Находится точка пересечения (K) исходной прямой а с плоскостью . Определяется расстояние от точки М до точки Kспособом прямоугольного треугольника. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника M2K2N2равна расстоянию от точки M до прямой а: |MK| = M2N2.

 Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.