Задачи.

5.1. Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5.2. Найдите аргументы комплексных чисел: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5.3. Представьте комплексное число в тригонометрической форме: 1) ; 2) ; 3) ; 4) z = ; 5) z = .

5.4. Найдите вектор, в который переходит вектор после поворота на 120° : 1) в положительном направлении; 2) в отрицательном направлении.

5.5. Запишите следующие комплексные числа в алгебраической форме: 1) ; 2) ; 3) .

5.6. Найдите все значение , если: 1) z = 1, n = 6; 2) z = 1 + i, n = 2.

5.7. Решите уравнения: 1) ; 2) .

Домашнее задание 5.

5.8. Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям: 1) ; 2) .

5.9. Представьте комплексное число в тригонометрической форме: 1) ; 2) z =; 3) z =.

5.10. Найдите величину угла, на который нужно повернуть вектор 2 – 3 + і(3 + 2), чтобы получить вектор 4 +6і.

5.11. Запишите следующие комплексные числа в алгебраической форме: 1) ; 2) .

5.12. Найдите все значение , если: 1) z = 4і, n = 4; 2) z = –1, n = 3.

5.13. Решите уравнения: 1) ; 2) .

Занятие 6. Многочлены и рациональные дроби.

1º. Многочленом или полиномом n-й степени называют выражение

,

где коэффициенты являются комплексными числами и переменная z принимает значения из множества комплексных чисел. В частности, как , так и z могут быть действительными. Два многочлена тождественно ровны один другому, если и тольки если равны их степени и коэффициенты при одинаковых степенях z.

Для каждых двух многочленов и , существуют многочлены и , такие, что =. Многочлен называют частным, а многочлен – остатком от деления многочлена на многочлен . Если многочлен , то говорят, что делится на , при этом многочлен называют делителем многочлена .

Число а называюць коранем многочлена , если .

Теорема Безу. Число а является корнем многочлена , когда и только когда этот многочлен делится на , т.е. .

Если существуют числа и многочлен такие, что для всех выполняется равенство , то число а называется корнем многочлена кратности k .

Теорема Гаусса. Всякий многочлен n-й степени на множестве комплексных чисел имеет n корней, если каждый k–кратный корень считать k раз.

Из теоремы Гаусса следует, что каждый многочлен можно представить в виде , (1)

где – разные корни многочлена, а .

Если комплексное число является корнем кратности многочлена с действительными коэффициентами, то сопряжённое число также является корнем кратнасти многочлена . Если в (1) перемножить множители, соответствующие сопряжённым корням, то равенство (1) принимает вид

, (2)

где

Пример 1. Решить уравнение .

►Пользуясь формулой вычисления корней квадратного уравнения, находим . ◄

Пример 2. Решить уравнение .

►По формуле вычисления корней квадратного уравнения имеем . Из примера 4 занятия 5 получим .◄