5.5. Заполнение зон электронами. Металлы. Диэлектрики. Полупроводники

Каждая разрешённая зона содержит конечное число энергетических уровней. В соответствии с принципом Паули, на  уровне могут находиться 2 электрона с противоположными спинами. При ограниченном числе электронов в кристалле заполненными окажутся только несколько наиболее низких энергетических зон, все остальные – пустые.

Рассмотрим различные варианты заполнения зон электронами:

1. А. Пусть последняя зона, в которой есть электроны, заполнена частично. Так как эта зона заполняется валентными электронами, то её называют валентной зоной и обозначают . Под действием внешнего поля электроны начнут ускоряться и переходить на более высокие свободные уровни той же зоны: в кристалле потечёт ток.

Νβ: Т.о. кристаллы с частично заполненной валентной зоной хорошо проводят ток, т.е. являются металлами.

Пример: рассмотрим Na (11): . При объединении атомов в кристалл, энергетические уровни атомов превращаются в зоны. Электроны внутренних оболочек полностью заполняют зоны (рисунок с 1s²). В случае Na они образованы уровнями 1s, 2s и 2p. Валентная зона образована из 3s состояний. В ней имеется N уровней (N – число атомов, объединяющихся в кристалл), на которые приходится N/2 электрона. Таким образом в кристаллическом Na валентная зона заполнена на половину (Νβ: все сказанное относится к 0°К). Так же происходит для всех щелочных металлов.

Б. Пусть валентная зона заполнена полностью, но она перекрывается со следующей разрешённой зоной, не занятой электронами. Если к такому кристаллу приложить внешнее электрическое поле, то электроны начнут переходить на уровни свободной зоны, и потечёт ток. Такой кристалл тоже является металлом. Типичный пример: Mg (12): . В валентной оболочке 3s имеются 2 электрона: в кристаллическом магнии валентные электроны полностью заполняют 3s зону, однако эта зона перекрывается со свободной 3p зоной.

2. Пусть валентная зона заполнена полностью и отделена от следующей за ней свободной зоны широкой запрещённой энергетической щелью . В таком кристалле внешнее поле не может создать ток. Вещество с такой зонной структурой называется диэлектриком.

Пример:

Зоны, образующиеся из полностью заполненных оболочек, тоже полностью заполенны. Последней заполненной зоной является 3p иона Cl^-,а следующая за ней свободная зона –иона Na³⁺. Энергетическая щель между ними – примерно 9 эВ.

3. Пусть валентная зона заполнена полностью и отделена от следующей за ней свободной зоной запрещённой щелью . Такой кристалл называется полупроводником.

В полупроводниках за счёт тепловой энергии часть электронов может переброситься в свободную зону, которая называется зоной проводимости E_c.

При очень низких температурах  полупроводник становится диэлектриком.

Νβ: Таким образом, между металлами и диэлектриками существует качественное различие, а между диэлектриками и полупроводниками – количественное.

Схема заполнения зон в металлах, диэлектриках и полупроводниках (войдёт в к/р)

5.6. Эффективная масса электрона. Свободный электрон.

Пусть имеется свободный электрон во внешнем электрическом поле ε. Со стороны этого поля на электрон действует сила поля:

, где e – элементарный заряд электрона.

Под действием этой силы электрон приобретает ускорение: , m – масса электрона.

Рассмотрим электрон в периодическом поле кристалла. На этот электрон так же действует внешнее электрическое поле ε; оно так же действует с силой , направленной против поля. В случае свободного электрона сила F была единственной, определяющей характер движения электрона. На электрон же в кристалле, кроме этой силы F, действуют внутренние силы, создаваемые периодическим полем решётки. Поэтому движение электрона в кристалле более сложное, чем движение свободного электрона. Для него можно так же определить ускорение, на основании второго закона Ньютона в виде:

где под m^* подразумевается:

- эффективная масса электрона.

Νβ: эффективная масса отражает влияние периодического потенциала решётки на движение электрона в кристалле под действием внешней силы. Электрон в периодическом поле кристаллической решётки движется под действием внешней силы так, как двигался бы свободный электрон под действием этой же силы, если бы он обладал массой m^*.

Таким образом, если электрону в кристалле вместо массы m приписать эффективную массу , то его можно считать свободным, и движение этого электрона описывать так, как описывается движение свободного электрона во внешнем поле.

Пользуясь понятием эффективной массы задачу о движении электрона в периодическом поле решётки можно свести к задаче о движении свободного электрона с массой . Это значит, что вместо уравнения Шредингера с периодическим потенциалом

нужно решать уравнение Шредингера с эффективной массой:

Физ смысл эффективной массы: эффективная масса, в отличие от обычной массы, не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств частицы. Она является лишь коэффициентом в уравнении 2-го закона Ньютона для электронов в кристалле, и отражает меру взаимодействия электрона с кристаллической решёткой.