6.2 Поняття про багатовимірний кореляційний аналіз

Основні поняття кореляційного аналізу, введені для двовимірної моделі, можна поширити на багатовимірний випадок. Однак, якщо при вивченні взаємозв'язків за двовимірною моделлю ми обмежувалися розглядом парних коефіцієнтів кореляції, то для багатовимірних моделей цього недостатньо. Різноманіття зв'язків між змінними знаходить висвітлення в часткових і множинних коефіцієнтах кореляції.

Нехай є багатовимірна нормальна сукупність із m ознаками X₁, X₂, …, X_m... У цьому випадку взаємозалежність між ознаками можна описати за допомогою кореляційної матриці. Під кореляційною матрицею будемо розуміти матрицю, складену з парних коефіцієнтів кореляції. Оцінкою парного коефіцієнта кореляції є вибірковий парний коефіцієнт кореляції

(6.4)

Якщо знайдені вибіркові коефіцієнти кореляції, то можна одержати оцінену кореляційну матрицю

. (6.5)

Ця матриця симетрична.

6.2.1 Часткова кореляція

Коефіцієнти часткової кореляції також характеризують лінійні зв'язки ознак, але при цьому до уваги береться чистий зв'язок пари ознак. Часткові коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між результатом і відповідним фактором при усуненні впливу інших факторів.

Нехай вихідна система складається з m ознак. Можна вивчати залежності між двома з них при фіксованому значенні l ознак з m-2, що залишилися. Розглянемо систему з 4 ознак, будемо вивчати залежність між X₂ і X₃ при фіксованому значенні X₄. У цьому випадку маємо частковий коефіцієнт першого порядку. Якщо ми зафіксуємо значення X₁ і X₄ при вивченні залежності між X₂ і X₃, то одержимо частковий коефіцієнт другого порядку.

Формула вибіркового часткового коефіцієнта l-го порядку (l=m-2) має вигляд

, (6.6)

де Q_jk,Q_jj, Q_kk – алгебраїчні доповнення до відповідних елементів кореляційної матриці Q (6.5).

Для випадку, коли на змінну Y діють 2 фактори X₁ і X₂, часткові коефіцієнти кореляції можна обчислити за формулами:

, ,

.

Формулу вибіркового часткового коефіцієнта кореляції можна виразити не тільки через алгебраїчні доповнення кореляційної матриці Q, а й через елементи матриці Z, оберненої до матриці Q. Якщо чисельник і знаменник правої частини (6.6) розділити на визначник кореляційної матриці Q, то одержимо

, (6.7)

де z_ij, z_ii, z_jj - елементи матриці Z=Q^-1.

Формула (6.7) особливо зручна, якщо на ЕОМ можна використати підпрограму, що обчислює обернену матрицю.

Значущість часткових коефіцієнтів кореляції оцінюють так само, як і для парних (6.3) , але число ступенів вільності

k=(n-l )-2 .

6.2.2 Множинний коефіцієнт кореляції

Множинний коефіцієнт кореляції дозволяє оцінити зв'язок однієї з ознак з усіма іншими.

, (6.8)

де |Q | – визначник кореляційної матриці,

Q_jj – алгебраїчне доповнення до відповідного елемента кореляційної матриці,

z_jj – елементи матриці Z=Q ^-1.

Квадрат коефіцієнта множинної кореляції називають множинним коефіцієнтом детермінації. Коефіцієнти множинної кореляції й детермінації - величини додатні і набувають значення з відрізку [0;1]. Чим ближче їх значення до 1, тим тісніший зв'язок результативної ознаки з усім набором досліджуваних факторів.

Приклад. За даними річних звітів десяти (n=10) підприємств провести аналіз залежності собівартості товарної продукції Y (ум. од.) від обсягу валової продукції X₁ (млн. ум. од.) і продуктивності праці X₂ (тис. ум. од. на чол.). Дані наведені в таблиці 6.2.

Таблиця 6.2 – Собівартість товарної продукції, обсяг валової продукції і продуктивність праці

№	Х1, (млн. ум. од.)	Х2, (тис. ум. од. на чол.).	Y, (ум. од.)	№	Х1, (млн. ум. од.)	Х2, (тис. ум. од. на чол.).	Y, (ум. од.)
1	3	1,8	2,1	6	5	1,5	4,9
2	4	1,5	2,8	7	6	1,6	5,5
3	5	1,4	3,2	8	7	1,2	6,5
4	5	1,3	4,5	9	15	1,3	12,1
5	5	1,3	4,8	10	20	1,2	15

1. Знаходимо матрицю парних коефіцієнтів кореляції за допомогою Сервис – Анализ данных – Корреляция.

Вхідний діапазон. Посилання на діапазон, що містить аналізовані дані. Посилання повинно складатися не менш ніж із двох суміжних діапазонів даних, які розміщені у рядках або стовпчиках.

Групування. Встановіть перемикач у положення По столбикам або По строкам залежно від розміщення даних у вхідному діапазоні.

Мітки в першому рядку/Мітки в першому стовбці

Якщо перший рядок вхідного діапазону містить назви стовпців, встановіть перемикач у положення „Мітки в першому рядку”. Якщо назви рядків перебувають у першому стовпці вхідного діапазону, встановіть перемикач у положення „Мітки в першому стовпці”. Якщо вхідний діапазон не містить міток, то необхідні заголовки у вихідному діапазоні будуть створені автоматично.

Натисніть кнопку ОК. Отримаємо таку таблицю:

	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
Столбец 1	1
Столбец 2	-0,565031	1
Столбец 3	0,9872039	-0,6049951	1

Будуємо кореляційну матрицю Q

1	-0,565031	0,9872039
-0,56503	1	-0,6049951
0,987204	-0,604995	1

2 Розрахунок оцінок часткових коефіцієнтів кореляції.

Знаходимо обернену матрицю Z за допомогою функції EXCEL МОБР(<діапазон>).

42,03319	-2,13634	-42,7878
-2,13634	1,685914	3,128971
-42,7878	3,128971	45,1333

Оцінки часткових коефіцієнтів кореляції визначаються за формулою (6.7).

Одержуємо такі значення:

r12,y=	0,253779237
r1y,2=	0,982370424
r2y,1=	-0,35870321

Варто мати на увазі, що частковий коефіцієнт кореляції може різко відрізнятися від відповідного парного коефіцієнта і навіть мати протилежний знак. Кожний із часткових коефіцієнтів може дорівнювати нулю, у той час як значення відповідних парних коефіцієнтів буде відмінне від нуля.

У даному прикладі r_12,y=0,25378, а r₁₂=-0,565, тобто чистий зв'язок між обсягом валової продукції (X₁) і продуктивністю праці (X₂) незначний. Зв'язок обсягу валової продукції (X₁) і собівартості товарної продукції (Y): r_1y=0,987, r_1y,2=0,982 сильний. У випадку незалежності величин частковий і парний коефіцієнти кореляції дорівнюють нулю.

3 Розрахунок оцінок множинних коефіцієнтів кореляції й детермінації. Оцінки множинних коефіцієнтів кореляції та детермінації розраховуються за формулами:

=0,989,

=0,978.

Значення множинних коефіцієнтів кореляції й детермінації близькі до 1, що свідчить про наявність сильної лінійної залежності Y від X₁ і X₂, тобто собівартість дійсно залежить від обсягу валової продукції і продуктивності праці.