2. Визначити всі раціональні корені многочлена .

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Число називається коренем многочлена , якщо .

! Теоретичні відомості !

Якщо раціональне число , , є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами, то число є дільником вільного члена, а –дільником коефіцієнта при старшій степені, тобто , а .

! Теоретичні відомості !

Якщо , є раціональним коренем поліному , то , .

У якості обираємо усі дільники вільного члена заданого многочлена, тобто – 14: . У якості – дільники старшого коефіцієнта: . З отриманих значень складаємо різні нескоротні дроби. Значення многочлена у точках та знайдемо за допомогою схеми Горнера:

	10	– 13	6	15	– 14
1	10	– 3	3	18	4
– 1	10	– 23	29	–14	0

Можна зробити висновок, що – корінь заданого многочлена (так як ).

Для зручності побудуємо наступну таблицю:

	1	– 1	1	– 1	1	– 1	2	– 2	2	– 2
	2	2	5	5	10	10	1	1	5	5
	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
	–	+	–	+	–	–	–	+	–	–
	7	– 7	7	– 7	7	– 7	14	– 14	14	– 14
	1	1	5	5	10	10	1	1	5	5
	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–

Отже, раціональними коренями заданого многочлена можуть бути наступні: , .Зробимо перевірку за допомогою схеми Горнера:

	10	– 13	6	15	– 14
	10	– 18	15
	10	– 15	9

Таким чином, многочлен має єдиний раціональний корінь .

Відповідь.

3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .

Розв’язання.

! Теоретичні відомості !

Формула Кардано – формула для знаходження коренів кубічного рівняння .

До такого вигляду може бути приведене будь-яке кубічне рівняння загального вигляду за допомогою заміни . Тоді коефіцієнти цих двох рівнянь пов’язані наступними співвідношеннями:

, .

Розв’язок зведеного кубічного рівняння шукаємо у вигляді

.

Після підстановки рівняння зводиться до вигляду

.

Функції та обираються так, щоб

.

Для знаходження цих функцій отримаємо систему

Після заміни , приходимо до системи

яку, використавши теорему Вієта, зводимо до наступного квадратного рівняння

.

Його корені . Повертаючись до заміни, знаходимо три такі пари та , які задовольняють умові .

Знаходимо три кореня рівняння за формулами .

Для заданого в умові рівняння , , та . Зведемо дане рівняння до канонічного вигляду , для цього робимо заміну

,

невідомі коефіцієнти

, .

Отже, отримали рівняння

.

Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді

.

Підставляємо цей вираз у рівняння:

.

Або після спрощення

.

Функції та будемо шукати так, щоб

.

Тоді

,

.

Тобто отримали систему

Робимо заміну , , тоді система приймає вигляд:

! Теоретичні відомості !

Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює коефіцієнту при першому степені невідомого, який береться з протилежним знаком, а добуток дорівнює вільному члену:

, .

Тобто, невідомі величини та є коренями квадратного рівняння

.

Знайдемо його розв’язки. Дискримінант

.

Тоді

, .

Повертаючись до заміни, маємо, що

, .

Знайдемо числа , які задовольняють цим рівнянням. Для цього позначимо

, .

(тут вважаєтьсь, що корінь арифметичний). Зауважимо, що .

Оскільки та , то, за формулою Муавра

.

Випишемо всі три значення кореня:

,

.

Добуток є від’ємне дійсне число, тобто число з аргументом . Оскільки при множенні комплексних чисел їх аргументи додаються, то ми повинні розглядати такі пари чисел: та , та , та .

Таким чином, коренями кубічного рівняння є числа

,

,

.

Розв’язки вихідного кубічного рівняння обчислюються за формулами .

Відповідь. , , , , .