Задания 15-16. Проверить независимость двух характеристик по критерию Стьюдента. Построить линии регрессии.
Постановка задачи.
По
выборке
из двумерного нормального распределения
проверить гипотезу независимости
компонентов наблюдаемого случайного
вектора
.
Построить линии регрессии одного из
признаков по другому признаку. Найти
наилучший прогноз признака
при фиксированном значении признака
.
Теоретические основы.
Если
вектор
имеет нормальное распределение, то
независимость его компонентов эквивалентна
равенству нулю коэффициента корреляции.
Поэтому для проверки гипотезы независимости
можно проверить
гипотезу
о коэффициенте корреляции
.
Преобразование Стьюдента для выборочной корреляции
при
выборе из двумерного нормального
распределения и в условиях гипотезы
имеет распределение Стьюдента
с (n-2)-мя
степенями свободы. Таким образом, если
нулевую гипотезу отвергать при значениях
статистики Стьюдента, в ту или иную
сторону (в зависимости от альтернативы)
отличающихся от нуля, то критический
уровень значимости может быть найден
по следующей схеме:
-
Альтернатива
пояснение
.
Замечание
2. Здесь
следует подчеркнуть различие между
статистической
и практической
значимостью
коэффициента корреляции. Статистическая
значимость коэффициента корреляции
означает лишь, что наших данных достаточно
для подтверждения зависимости между
исследуемыми признаками. Практическая
значимость при этом будет означать, что
эти признаки могут быть достаточно
точно спрогнозированы один по другому.
Таким образом, если для практической
значимости необходимо, чтобы истинный
коэффициент корреляции был очень большим
(
и выше), то для статистической значимости
может оказаться достаточным проведение
большого числа наблюдений при очень
маленьком коэффициенте корреляции.
Проиллюстрируем
эти положения на примере данных из
задания 16, обработанных в пособии [4]. В
этом пособии при выполнении задания 16
получено значение
при объеме выборки
.
Таким образом, критический уровень
значимости
,
что свидетельствует об очень высокой
статистической значимости, однако в
этом случае только 25% изменчивости
каждого из признаков (см. свойство 5
коэффициента корреляции) можно объяснить
влиянием на него другого признака.
Другими словами, хотя зависимость между
признаками и есть, однако она имеет
низкую практическую значимость.
Графически это можно проиллюстрировать следующим образом. Проведем на графике линий регрессии вертикальную линию из точки x=120 (см. рисунок ниже).
Точка
пересечения этой линии с прямой регрессии
Y
на X
даст наилучший прогноз значения признака
при значении признака X=120:
Y= -0,961*120+170,817 = 55,4.
Реальные значения, близкие к вертикальной линии x=120 (точки на рисунке, обведенные прямоугольным контуром), имеют большой разброс по вертикали, что говорит о плохом качестве прогноза.