Задание 2. Гистограмма выборки.

Постановка задачи.

Построить график гистограммы выборки с подогнанной ожидаемой функцией плотности.

Теоретические основы.

† Гистограмма – ступенчатая кривая, высота ступенек которой пропорциональна количеству выборочных данных, попавших в заданные интервалы числовой прямой. Гистограмма используется для геометрического представления данных. В некотором смысле её можно считать оценкой функции плотности. Вероятность попадания в выбранный интервал может быть оценена относительной частотой попадания в этот интервал. Поэтому (и в силу теоремы о среднем значении) относительная частота, деленная на длину интервала, является оценкой функции плотности в некоторой средней точке этого интервала:

.

В дальнейшем на основе гистограммы будет построен критерий проверки гипотезы согласия с гипотетическим распределением.

Для построения гистограммы необходимо

1. разбить область значений выборки на заданное число k интервалов (считая оба бесконечных крайних интервала);

2. для каждого j=1,…,k подсчитать количество выборочных данных, попавших в j -ый интервал;

3. построить график ступенчатой кривой, у которой высота ступеньки над j -ым интервалом пропорциональна ;

4. наложить на график гистограммы график функции плотности предполагаемого распределения (например, нормального).

Разберем по порядку каждый из этих пунктов.

1. Чаще всего все внутренние конечные интервалы выбираются одинаковой длины. Поэтому для построения разбиения достаточно сначала выбрать правую границу 1-го интервала a₁ и левую границу последнего k-го интервала. Остальные границы вычисляются по формуле

с шагом . Левая граница 1-го интервала равна , правая граница последнего интервала . По поводу выбора количества интервалов k и первой границы a₁ существует множество различных мнений. Здесь необходимо учитывать как качество визуального представления, так и дальнейшее использование этой гистограммы для проверки гипотез и оценки вероятностей попадания наблюдаемой случайной величины в различные области. Если гистограмма используется только для визуального сравнения с функцией плотности, то, как вариант, можно взять число интервалов равным приблизительно десятой части выборки, первую границу , а последнюю границу , где – минимальное, – максимальное значения выборки, длина внутренних интервалов . Кроме того, удобнее выбирать границы так, чтобы они не совпадали с данными. Для этого можно, например, границы задавать с большей точностью, чем точность выборки. В целях упрощения, количество интервалов, первая граница и длина интервалов будут заданы каждому из студентов отдельно (или в файле персональных данных, или преподавателем).

2. Подсчет количества попаданий в каждый интервал можно осущест­вить без использования компьютера. Для этого необходимо на листе бумаги начертить схему расположения интервалов (можно без соблюдения масштаба) и последовательно просмотреть все данные. При попадании очередного числа в j -ый интервал нужно поставить над этим интервалом точку. Количество точек над каждым из интервалов по окончании просмотра и будет равно искомой частоте. Для автоматизации подсчета частот в Excel можно воспользоваться встроенной функцией Частота.

3. При построении гистограммы высоту ступеньки необходимо выбирать равной , что даст в результате кривую, площадь под которой равна единице – аналог свойства функции плотности. Поскольку всё равно приходится выбирать некоторый масштаб представления графика, то в случае совпадения длин всех внутренних интервалов можно положить высоту ступеньки равной .

4. Как уже было сказано, гистограмма представляет собой некую оценку функции плотности. Поэтому естественно попытаться сопоставить график гистограммы с графиком ожидаемой плотности . В идеале, если данные получены из распределения с плотностью , то график функции должен пересечь каждую ступеньку графика гистограммы.

Чаще всего ожидается нормальное распределение. Из других популярных распределений мы выделим показательное распределение времени службы и равномерное на отрезке [0;1]. Так как обычно предполагаемое распределение зависит от некоторых неизвестных параметров, то при построении графика плотности необходимо эти параметры оценить. Для нормального закона неизвестное среднее оценивается выборочным средним , а дисперсия – выборочной дисперсией s². Для показательного закона интенсивность отказа равна среднему значению, поэтому также может быть оценено посредством .

При одновременном прорисовывании графика гистограммы и функции плотности следует помнить о выбранном масштабе представления. Другими словами, если при вычислении высоты ступеньки мы забыли поделить на , то придется на константу умножить каждое значение функции плотности: . Чтобы построить по возможности более точный график плотности, значения функции плотности необходимо было бы вычислить в большом числе точек. Однако возможности пакета Excel позволяют построить график плотности с достаточной степенью точности, если эти вычисления произвести только в средних точках выбранных интервалов, после чего применить опцию сглаживания.