4 Метрические задачи
Задачи связанные с определением на чертеже длин отрезков, углов между прямыми и плоскостями, площадей плоских фигур, а также объемов тел получили название метрических. Решение таких задач базируется на умении определять длину отрезка и строить прямой угол (проводить взаимно перпендикулярные прямые). Последнее базируется на теореме о проецировании прямого угла.
Прямой угол проецируется на плоскость проекции без искажения в том случае, если одна из его сторон параллельна этой плоскости, а вторая не перпендикулярна.
Прямая перпендикулярна плоскости , если она перпендикулярна любым двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Одна плоскость перпендикулярна другой , если она проходит через перпендикуляр к этой плоскости.
Примеры решения метрических задач. Определить длину отрезка АВ линии общего положения и угол наклона этой прямой к фронтальной плоскости проекции (рисунок 9).
Рисунок 9 - Определение натуральной величины отрезка
1)Определяется разница координат Z концов отрезка (на фронтальной плоскости проекции).
2) Проводится (через один из концов проекции A1B1 ) перпендикуляр.
3) Откладывается на нем величина ортогонального дополнения ΔZ .
4) Строится прямоугольный треугольник AоA1B1.
Гипотенуза этого треугольника определит искомую длину отрезка AB. А угол при вершине B1 будет совпадать с искомым углом наклона прямой к плоскости π1 .
Аналогичные построения выполняются и на фронтальной плоскости. А угол при вершине B2 будет совпадать с искомым углом наклона прямой к плоскости *2.
Проведение перпендикуляра к прямой равносильно проведению к этой прямой перпендикулярной плоскости. Покажем это.
Пусть из точки С к прямой общего положения AB нужно провести перпендикуляр (рисунок 10).
1) Через точку C перпендикулярно AB проводится горизонталь h ( h2 || oX , h1 _|_ A1B1 ).
2) Затем точно также, перпендикулярно АВ проводится фронталь f ( f1 || oX , f2 _|_ A2B2 ).
Рисунок 10 - Прямая, перпендикулярная плоскости
Плоскость, образованная пересекающимися прямыми f и h, по определению будет перпендикулярна прямой AB и, следовательно, в ней и будет лежать искомая прямая. Для этого нужно найти точку пересечения этой плоскости и исходной прямой AB .
Определяем точку пересечения. Введение проецирующей плоскости Q через прямую AB позволяет найти линию пересечения плоскости Q и плоскости пересекающихся прямых f и h (линия 12), на которой и лежит точка S (точка основания перпендикуляра).
4) Отрезок CS и есть искомый перпендикуляр, т.к. он лежит в плоскости перпендикулярной прямой.
На этом же рисунке решена задача построения перпендикуляра к плоскости, когда его основание (точка C) лежит в этой плоскости. Строится плоскость, перпендикулярная прямой, задается горизонталью и фронталью. В этой плоскости произвольно строится прямая 12. Точка S ,принадлежащая прямой 12, определит вторую точку перпендикуляра CS.
Решить на комплексном чертеже самостоятельно следующие задачи по теме "Метрические задачи".
4.1 Найти длины отрезков и определить углы наклона их к плоскостям проекций (рисунок 11).
Рисунок 11
4.2 Провести перпендикуляр из точки D к прямой CB при условии, что точка D : лежит на прямой; не лежит на прямой ( рисунок 12).
Рисунок 12
4.3 Через точку D провести прямую, перпендикулярную плоскости треугольника ABC.
Рисунок 13
4.4 Через точку D провести плоскость перпендикулярную плоскости треугольника АBC (рисунок 13).
4.5 Определить угол межу прямыми AB и AC . Координаты вершин треугольника : A(15,10,10), B(40,40,40), C(80,20,20) . (Решение задачи свести к определению истиной величины треугольника ABC ).
4.6 На прямой AC (задача 4.5) отложить отрезок длиной в 40 мм.
4.7 В плоскости треугольника ABC (задача 4.5) построить квадрат со стороной равной 50 мм.
4.8 Найти расстояние от точки D до плоскости заданной: треугольником; следами (рисунок 14).
Рисунок 14
4.9 Построить проекции равнобедренного треугольника на основании ВА [А(60,0,20), B(10,40,40)].
4.10 В плоскости P (смотри условие задачи 4.8), заданной следами, сделать треугольное отверстие (построить треугольник).