Р Дано: , , , , . Ешение:

Уравнение вращательного движения вала имеет вид: . В скалярной форме (в проекции на направление углового ускорения) , где , . Сила трения, создающая тормозящий момент, связана с силой, прижимающей тормозную колодку к поверхности вала соотношением . Угловая скорость вращения вала при равнозамедленном движении меняется со временем по закону , где начальная угловая скорость.

В момент остановки , следовательно . Учитывая связь угловой скорости с частотой вращения , получим . Таким образом, , откуда .

Ответ: .

4.6. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Если сравнивать законы поступательного и вращательного движений, то усматривается аналогия между ними. Очевидно, что должен существовать и аналог импульса (количества движения) тела, называемый моментом импульса.

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: , где радиус–вектор, проведенный из центра вращения в данную материальную точку; импульс материальной точки; псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается от к .

Численное значение момента импульса

,

где угол между векторами и , плечо вектора относительно точки О (рис. 4.6.1).

Моментом импульса относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси (рис. 4.6.2).

Необходимо отметить, что L_z не зависит от положения точки О на оси Z.

Момент импульса системы материальных точек относительно оси есть сумма моментов импульсов материальных точек, входящих в систему, относительно этой оси:

.

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Разобьем его на отдельные материальные точки массой , которые движутся по окружности постоянного радиуса со скоростью . Поскольку скорость (и импульс ) перпендикулярны этому радиусу, то радиус является плечом вектора импульса. Следовательно, .

Момент импульса тела как системы материальных точек:

, где , а момент инерции тела относительно оси . Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения через момент импульса. Для этого продифференцируем полученное уравнение по времени:

.

Следовательно, производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси: .

В векторной форме: .

В замкнутой системе момент внешних сил , следовательно , поэтому

. (4.6.1)

Таким образом, момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Это утверждение представляет собой закон сохранения момента импульса, который является фундаментальным законом природы.

Продемонстрировать выполнение закона сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского – круглой платформы, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси. Пусть человек стоит на скамье и держит в вытянутых руках гири (рис. 4.6.3, а). Платформа вместе с человеком вращается с угловой скоростью . Если человек прижмет гири к себе (рис. 4.6.3, б), то момент инерции системы уменьшится . Т.к. момент внешних сил равен нулю, выполняется закон сохранения момента импульса: . Следовательно, угловая скорость вращения должна увеличиться .

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие поступательное движение тела и его вращение вокруг неподвижной оси.

Таблица 4.6.1.