39. Коефіцієнт детермінації.

Вимірювання щільності нелінійного зв’язку грунтується на співвідношенні варіацій теоретичних та емпіричних (фактичних) значень результативної ознаки . Як зазначалося в підрозд. 5.6, відхилення індивідуального значення ознаки від середньої можна розкласти на дві складові. У регресійному аналізі це відхилення від лінії регресії і відхилення лінії регресії від середньої .

Відхилення є наслідком дії фактора , відхилення  — наслідком дії інших факторів. Взаємозв’язок факторної та залишкової варіацій описується правилом розкладання варіації:

де — загальна дисперсія ознаки y; — факторна дисперсія; — залишкова дисперсія.

Очевидно, значення факторної дисперсії буде тим більшим, чим сильніший вплив фактора на . Відношення факторної дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв’язку і називається коефіцієнтом детермінації:

.

За даними табл. 7.2 , звідки

Аналогічний результат дають такі обчислення:

Отже, коефіцієнт детермінації тобто 81% варіації врожайності зернових залежить від варіації кількості внесених добрив, а 19 % припадає на інші фактори.

40. Нелінійні рівняння регресії.

Різні явища по-різному реагують на зміну факторів. Для того щоб відобразити характерні особливості зв’язку конкретних явищ, статистика використовує різні за функціональним видом регресійні рівняння. Якщо зі зміною фактора результат змінюється більш-менш рівномірно, такий зв’язок описується лінійною функцією При нерівномірному співвідношенні варіацій взаємо­зв’язаних ознак (наприклад, коли прирости значень зі зміною прискорені чи сповільнені або напрям зв’язку змінюється), викорис­товують нелінійні регресії, зокрема:

степеневу

гіперболу

параболу тощо.

Вибір та обгрунтування функціонального виду регресії грунтується на теоретичному аналізі суті зв’язку. Припустимо, вивчається зв’язок між урожайністю та кількістю опадів. Надто мала і надто велика кількість опадів спричинюють зниження врожайності, максимальний її рівень можливий за умови оптимальної кількості опадів, тобто зі збільшенням факторної ознаки (опади) урожайність спершу зростає, а потім зменшується. Залежність такого роду описується параболою

Вивчаючи зв’язок між собівартістю та обсягом продукції , використовують рівняння гіперболи , де — пропорційні витрати на одиницю продукції, — постійні витрати на весь випуск.

Зауважимо, що теоретичний аналіз суті зв’язку, хоча й дуже важливий, лише окреслює особливості форми регресії і не може точно визначити її функціональний вид. До того ж у конкретних умовах простору і часу межі варіації взаємозв’язаних ознак і значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривина регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв’язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим значною мірою пояснюється широке використання лінійних рівнянь регресії:

Параметр (коефіцієнт регресії) — величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливу на . Параметр — вільний член рівняння регресії, це значення при = 0. Якщо межі варіації не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого — мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень від теоретичних Y:

Математично доведено, що значення параметрів та , при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначаються із системи нормальних рівнянь

Розв’язавши цю систему, знаходимо такі значення параметрів:

Розглянемо порядок обчислення параметрів лінійної регресії на прикладі зв’язку між урожайністю зернових і кількістю внесених добрив (у центнерах діючої поживної речовини).