76. Поясніть як відбувається інтегрування правильного раціонального дробу виділенням повного квадрату в загальному вигляді….

78. Поясніть як відбувається розкладення правильного раціонального дробу на суму найпростіших методом невизначених коефіцієнтів...

79. Запишіть три основні випадки при інтегруванні тригометричних ф-цій Наведіть приклади.

Випадок перший:

Розглянемо інтеграли вигляду: , . Скориставшись відомими триго- нометричними формулами: можна перетворити кожний добуток в інтегралах в алгебраїчну суму та про інтегрувати.

Другий випадок: Розглянемо інтеграли від ф-цій, які є добутком ступеня синуса та косинуса одного й того ж аргументу, тобто: , при інтегруванні цих ф-цій використовують те, що парну ступінь косинуса можна виразити через синус, а диференціал синуса дорівнює (або парну ступінь синуса можна виразити через косинус, а диференціал косинуса дорівнює - ). Може бути 3 випадки: 1. хоча б один з показників m або n непарний;2.обидва показника непарні;3.обидва показника парні.

Випадок третій: Для знаходження інтегралів типу та та доцільно використовувати підстановку відповідно.

80.Запишіть формули універсальної тригометричної підстановки та наведіть приклади її використання. Інтеграли типу , де R – раціональна ф-ція своїх аргументів, заміною зводяться до інтегрування ф-ції, яка є раціональною відносно t. При цьому:

якщо має місце тотожність , для зведення підінтегральної ф-ції до раціонального вигляду можна використати спрощену підстановку , маємо

81. Інтегрування найпростіших ірраціональностей, запишіть основні типи інтегралів та формули заміни.

1) 2) 3) Підінтегральна ф-ція після виділення повного квадрата і заміни раціоналізується тригонометричними підстановками.

82. Поясніть як відбувається інтегрування ірраціональних ф-цій за допомогою тригонометричних підстановок. Запишіть формули підстановок трьох випадків. Наведіть приклади.

Розглянемо R(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл R(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії R*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1) Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах sin²ⁿxcos^2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

83. Поясніть суть задачі знаходження площі криволінійної трапеції, дайте означення визначеного інтеграла та запишіть формулу. Властивості визначеного інтеграла. Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при _і­­0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини х_і, ні від вибору точок _і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

Озн: Нехай границя інтегральної суми при прямуванні до 0 існує, скінченна та не залежить від способу вибору точок . Тоді ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ції y=f(x) на[a;b]. Позначається: Властивості визначеного інтеграла

1) Якщо f(x)=c=const, то

2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.

3) Якщо f₁(x) та f₂(x) інтегровані на [a;b], то: 4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.

5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

6) Якщо f(x) – інтегрована в будь-якому із проміжків [a;b], [a;c], [c;b], то: 7) Якщо f(x)0 і інтегрована для x[a,b], b>a, то

8) Якщо f(x), g(x) – інтегровані та f(x)g(x) для x[a;b], b>a, то:

9) Якщо f(x) – інтегрована та mf(x)M, для x[a;b], b>a, то 10) (Теорема про середнє): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для x[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= c [a;b], що:

84.Поясніть геометричний та економічний зміст визначеного інтеграла. Геометричний зміст: Якщо ф-ція y=f(x) невід’ємна на відрізку , де a<b, тоді чисельно дорівнює площі під кривою y=f(x) на . Дійсно при наближені до 0 ламана необмежено наближується до заданої кривої і площа під ламаною переходить в площу під кривою. Економічний зміст: Нехай ф-ція описує зміну продуктивності деякого виробництва з плином часу. Знайдемо обсяг продукції, виробленої за проміжок часу . Якщо продуктивність не змінюється з плином часу, то обсяг продукції , виробленої за деякий проміжок часу , може бути знайдений: . У загальному випадку справедлива наближена рівність , де , яка тим більш точна, чим менше . При прямуванні кожне з використаних наближених рівностей стає усе більш точним, тому

Враховуючи означення визначеного інтеграла, отримаємо: , тобто, якщо: - продуктивність праці в момент часу t, то - обсяг продукції, що виробляється за проміжок часу .