42.Односторонні границі ф-ції…

43.Неперервність ф-цій в точці та основні властивості ф-цій, неперервних в точці.

Озн: Ф-ція f(x) називається неперервною в точці якщо вона задовольняє наступним трьом умовам:

1. визначена у точці ;

2.має скінчену границю при ;

3.ця границя дорівнює значенню ф-ції у точці , тобто: .

Властивості ф-цій, неперервних в точці:

1. Якщо ф-ції f(x) та неперервні в точці , то їх сума , добуток та частка є функціями, неперервними в точці .

2 Якщо ф-ції y=f(x). неперервна в точці ,та , то існує такий окіл точки , в якому .

3. Якщо ф-ція y=f(u) неперервна в точці , а ф-ція неперервна в точці , то складна ф-ція неперервна в точці .

44.Точки розриву ф-цій та їх класифікація.

Озн: Точка називається точкою розриву ф-ції f(x), якщо ця ф-ція у цій точці не є неперервною, тобто у випадках коли:

1) f(x) не визначена у цій точі;

2) f(x) визначена у точці , але:

А)не існує ;

Б)існує границя та .

Розрізняють точки розриву:

Першого роду - коли існують кінцеві односторонні границі функції зліва та справ при , не рівні одне одному. У цьому випадку різниця називається скачком ф-ції в точці .

Другого роду- коли хоча б одна з односторонніх границь зліва або справа дорівнює нескінченості або не існує.

45.Неперервність ф-ції на відрізку та властивості ф-цій, неперервних на відрізку. Неперервність основних елементарних ф-цій.

Ф-ція y=f(x) називається неперервною на проміжку ,якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.

Властивості ф-цій неперервних на відрізку:

1)Якщо ф-ція y=f(x) неперервна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку.

2)Якщо ф-ція y=f(x) неперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку найменьшого значення m та найбільшого значення М.

3)Якщо ф-ція y=f(x) неперервна на відрізку та значення її на кінцях відрізку та мають протилежні знаки, що всередині відрізку знайдеться точка така, що .

Неперервність основних елементарних ф-цій.

Однією з важливих властивостей елементарних ф-цій є їх неперервність у кожній точці, у околі якої вони визначені. Тобто, можна сказати, усі елементарні ф-ції неперервні на області визначення. Розглянемо деякі елементарні ф-ції, перевіримо іх неперервність, використовуючи означення неперервної ф-ції та її властивості.

1)Раціональні ф-ції. , , .

2)Тригометричні ф-ції.

3)Показникові та логарифмічні ф-ції. , .

47.Схема знаходження похідної.

Похідна ф-ції y=f(x) може бути знайдена за наступною схемою:

1) Надаємо аргументу х приріст та знаходимо нарощене значення ф-ції .

2)Знаходимо приріст ф-ції .

3)Складаємо відношення .

4)Знаходимо границю відношення при : .

Правила диференціювання.

1. Похідна постійної дорівнює 0.

2.Похідна аргументу дорівнює 1.

3. Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа диференційованих ф-цій дорівнює сумі похідних цих ф-цій .

4. Похідна добутку двох диференційованих ф-цій дорівнює сумі добутків похідної першого співмножника на другий та добутку похідної другого співмножника на перший:

.

Наслідок(1): Постійний множник можна винести за знак похідної:

Наслідок(2):

5.Похідна частки: .