23. Форсирующее звено

Форсирующим звеном называется звено, описываемое уравнением

(3.28)

Такое звено может быть получено в результате параллельного соединения усилительного и идеального дифференцирующего звеньев. Оно характеризуется двумя параметрами: коэффициентом передачи k и постоянной времени Т.

Передаточная функция

W(s) = k(1 + Ts). (3.29)

Замена в (3.28) s = iω позволяет получить частотные характеристики форсирующего звена, графики которых показаны на рис. 3.9:

АФХ (3.30)

АЧХ (3.31)

ФЧХ (3.32)

Рис. 3.9 Частотные характеристики форсирующего звена:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Как видно из графиков, амплитудно-фазовая характеристика представляет собой прямую, параллельную мнимой оси и пересекающую действительную ось в точке Re = k.

Переходные характеристики получают непосредственно из уравнения (3.28): - переходная функция - входной сигнал x(t) = 1(t), а выходной сигнал

h(t) = k(1(t) +Tδ(t)); (3.33)

весовая функция - входной сигнал х(t) = δ(t), а выходной сигнал

w(t) = k(δ(t) + Tδ'(t)). (3.34)

Графически изобразить возможно только переходную функцию, которая и представлена на рис. 3.10.

Рис. 3.10 Переходные характеристики форсирующего звена:

а - переходная функция; б - весовая функция

Звено чистого запаздывания

Примером звена чистого запаздывания является транспортер.

Если за входную координату принять расход материала в начале транспортера, а за выход - расход материала в конце транспортера, то выходной сигнал будет повторять входной сигнал x(t) с запаздыванием τ, равным времени движения материала от места погрузки до места выгрузки, причем , где L – длина транспортера, v – скорость движения транспортера.

Уравнение звена чистого запаздывания

y(t) = x(t - τ). (3.35)

Передаточная функция получается в результате преобразования Лапласа (3.35):

(3.36)

Частотные характеристики:

АФХ (3.37)

АЧХ M(ω) = 1; (3.38)

ФЧХ (3.39)

Графики частотных характеристик изображены на рис. 3.11.

Так как М(ω) = 1, а отставание по фазе выходных колебаний прямо пропорционально частоте с коэффициентом пропорциональности равным времени чистого запаздывания, то годограф АФХ представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Риc. 3.11 Частотные характеристики звена чистого запаздывания:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Переходные характеристики получаются подстановкой соответствующих входных сигналов в уравнение звена (3.35):

переходная функция h(t) = 1(t - τ), (3.40)

весовая функция w(t) = (t - τ). (3.41)

Графики переходных характеристики изображены на рис. 3.12.

Рис. 3.12 Переходные характеристики звена чистого запаздывания:

а — переходная функция; б — весовая функция

24. Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка называется также инерционным. Оно описывается дифференциальным уравнением первого порядка и имеет не колебательный характер переходного процесса. Примером таких звеньев может служить любая электрическая цепь, включающая сопротивление и емкость, тепловые объекты.

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид

Ty'(t) + y(t) = kx(t), (3.42)

где Т- постоянная времени звена; k— коэффициент усиления, k > 0, T > 0.

Постоянная времени характеризует инерционность.

Передаточную функцию получают из уравнения (3.42)

(3.43)

Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 3.13:

АФХ (3.44)

АЧХ (3.45)

ФЧХ (3.46)

Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена первого порядка на нулевой частоте равна коэффициенту усиления k, с увеличением частоты она монотонно уменьшается, асимптотически стремясь к нулю.

Рис. 3.13 Частотные характеристики апериодического звена первого порядка:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Фазочастотная характеристика при увеличении частоты от 0 до ∞ изменяется от 0 до Следовательно, годограф АФХ для ω > 0 целиком лежит в четвертом квадранте и представляет собой полуокружность диаметром k с центром в точке которая описывается уравнением

(3.47)

Доказательство последнего тождества аналогично доказательству подобного выражения для реального дифференцирующего звена. Значения действительной и мнимой частей АФХ заменяются их конкретными выражениями

и подставляются в (3.47).

Уравнение переходной функции получают как решение уравнения при x(t) = k(t) или в операторной форме

Переходя к оригиналу, получают выражение переходной функции во временной области

(3.48)

Весовую функцию можно получить как производную от переходной функции

. (3.49)

Графики переходных характеристик изображены на рис. 3.14.

а) б)

Рис. 3.14 Переходные характеристики апериодического звена первого порядка:

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена второго порядка удобно записать в виде

T₁T₂y''(t) + (T₁ + T₂)y′(t) + y(t) = kx(t), (3.57)

где T₁, T₂ — постоянные времени; k— коэффициент усиления; T₁, T₂, k> 0. После преобразования (3.57) по Лапласу

[T₁T₂s² + (T₁ + T₂)s + 1]y(s) = kx(s),

откуда передаточная функция звена равна:

(3.58)

Апериодическое звено второго порядка можно структурно представить в виде последовательного соединения двух звеньев первого порядка с постоянными времени Т₁ и T₂ (рис. 3.19), поэтому оно не относится к числу элементарных. Корни характеристического уравнения действительные.

Частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 3.20:

АФХ (3.59)

АЧХ (3.60)

ФЧХ (3.61)

Рис. 3.19 Структурная схема апериодического звена второго порядка

Рис. 3.20 Частотные характеристики апериодического звена второго порядка:

а - АЧХ; б - ФЧХ; в - АФХ

Для сравнения пунктиром показаны характеристики звена первого порядка. Амплитудно-частотная характеристика при изменении частоты от 0 до ∞ изменяется от k до 0. Фазочастотная характеристика изменяется от 0 до -π. Годограф амплитудно-фазовой характеристики лежит в 4-м и 3-м квадрантах. Сравнивая частотные характеристики звена первого порядка, видно, что добавление второго звена первого порядка увеличивает инерционность объекта, увеличивает модуль и увеличивает отставание по фазе.

Уравнение переходной функции в операторной форме имеет вид

Переходя к оригиналу, получают

(3.62)

Переходная функция представляет собой неколебательную кривую, имеющую одну точку перегиба и асимптотически стремящуюся кy(∞) = k. Уравнение весовой функции:

(3.63)

Графики переходных характеристик изображены на рис. 3.21.

Рис. 3.21 Переходные характеристики апериодического звена второго порядка:

а — переходная функция; б — весовая функция