Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе .

Доказательство.

, если , так как – ортогональная система векторов – канонический базис квадратичной формы .

, так как векторы системы нормированы, то , .

Канонический базис Якоби квадратичной формы .

Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители

, ,

называемые угловыми минорами матрицы не равны нулю. Очевидно, что , .

Обозначим через матрицу

.

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д.

Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение

–

ее каноническим видом в базисе .

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно определенной, если значение на каждом ненулевом значении больше нуля, т.е.

, если ,

Если же на каждом , то квадратичная форма называется отрицательно определенной..

Теорема. Дана квадратичная форма , – ее канонический базис, а выражение , канонический вид в базисе . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .

Доказательство.

1. Необходимость. Дано, что – положительно определенная форма. Так как , то и поэтому .

Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты , ,…, Нужно доказать, что положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор и разложим его по базису :

Так как , то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно , так как , ,…, и среди чисел хотя бы одно отлично от нуля.

Аналогично доказывается и второе утверждение.

Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.

Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.

2. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны

Доказательство

Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , и пусть , . Тогда – канонический базис квадратичной формы , а выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.

Второе предложение доказывается аналогично.

Лемма. Если какой-нибудь угловой минор матрицы равен нулю, то найдется такой ненулевой вектор , что

Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения: