Пример 1

x(t)=a₀+a₁*√t

t	x(t)	(t)	t	x(t)	(t)
1	1	0,68	9	1	70,66
2	3	3,29	10	3	82,21
3	5	5,33	11	5	93,77
4	7	7,05	12	7	105,32
5	9	8,55	13	9	116,88
6	10	9,91	14	10	128,44
7	11	11,16	15	11	139,99
11	46	12,329	19	46	186,22

Решение:

Задача решается в отношении неизвестных a₀ и a₁ .

а) min ∑⁷_t=1 [a₀ + a_1√t – x(t)]²

сумма квадратичных отклонений (мера близости временного ряда)

Обозначим ∑⁷_t=1 [a₀ + a_1√t – x(t)]²=f(a₀, a₁)

Тогда уравнения в нормальной форме будут иметь вид:

∂ F/∂a₀ = 2 ∑⁷_t=1[a₀ + a_1√t – x(t)] 1 = 0

∂F/∂a₁ = 2 ∑⁷_t=1 [a₀ + a_1√t – x(t)] _√t = 0

Уравнения в каноническом вида:

( ∑⁷_t=11) a₀ + (∑⁷_{t=1 √}t) a₁ = ∑⁷_t=1 x(t)

(∑⁷_t=1√t) a₀ + (∑⁷_t=1 t) a₁ = ∑⁷_t=1 x(t) _√t

7 a₀ + 13,478 a₁ = 46

13,478 a₀ + 28 a₁ = 101,626

Решая систему методом Крамера, получим

7 13,478

∆ = = 14,344

13,478 28

46 13,478

∆₀ = = -81,715

101,626 28

7 46

∆₁ = = 91,394

13,478 101,626

a₀ = ∆₀ / ∆ = -5,697

a₁ = ∆₁ / ∆ = 6,372

Таким образом, = -5,697 + 6,372_√t , для t=1,2,3,4,5,6,7,11

б) Проводим аналогичные рассуждения для t=9,10,11,12,13,14,15,19

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀ + 24,161 a₁ = 46

24,161 a₀ + 84 a₁ = 165,788

Решая систему методом Крамера, получим:

7 24,161

∆ = = 4,246

24,161 84

46 24,161

∆₀ = = -141,604

165,788 84

7 46

∆₁ = = 49,11

24,161 165,788

a₀ = ∆₀ / ∆ = -33,349

a₁ = ∆₁ / ∆ = 11,556

Таким образом, = -33,349 + 11,556_√t , t = 9,10,11,12,13,14,15,19

t	x(t)	(t)	t	x(t)	(t)
1	1	0,68	9	1	70,66
2	3	3,29	10	3	82,21
3	5	5,33	11	5	93,77
4	7	7,05	12	7	105,32
5	9	8,55	13	9	116,88
6	10	9,91	14	10	128,44
7	11	11,16	15	11	139,99
11	46	12,329	19	46	186,22