Многофакторные экономические регрессионные модели
В уравнении с распределенными лагами требуется определить веса ai и их количество n. Но это является нелинейной задачей.
Водятся вероятности лагов - wi и средняя доля фондообразующих капитальных вложений в среднем за период - β.
Использование конечных разностей и некоторых переобозначений приводит к линейной регрессии - модели в конечных разностях. Рассмотрим данную модель в Примере.
Процессы с распределенными лагами
Лаг – запаздывание экономического эффекта (от ввода инвестиций)
Фиктивные вероятности:
yt = β x(t) – ν1' a(t) + ν2' b(t) + εt
y(t) – готовые фонды
X(t) - инвестиции
a(t), b(t) – новые факторы модели
β – доля фондообразующих капитальных вложений
∆x(t) = x(t) - x(t-1)
∆2x(t) = ∆x(t) - ∆x(t-1)
Пример
Построить многофакторную регрессионную модель. Используя результаты в таблице.
t |
y(t) |
x(t) |
∆x(t) |
∆2x(t) |
b(t) |
a(t) |
1 |
10,81 |
10,8 |
- |
- |
- |
- |
2 |
10,59 |
12,1 |
1,3 |
- |
- |
- |
3 |
11,58 |
12,7 |
0,6 |
-0,7 |
-0,35 |
0,25 |
4 |
13,56 |
15 |
2,3 |
1,7 |
0,85 |
3,15 |
5 |
14,66 |
16,5 |
1,5 |
-0,8 |
-0,4 |
1,1 |
6 |
16,57 |
19,1 |
2,6 |
1,1 |
0,55 |
3,15 |
7 |
18,54 |
21,6 |
2,5 |
-0,1 |
-0,05 |
2,45 |
8 |
23,2 |
24,5 |
2,9 |
0,4 |
0,2 |
3,1 |
9 |
24,4 |
27,4 |
2,9 |
0 |
0 |
2,9 |
10 |
27,3 |
30,8 |
3,4 |
0,5 |
0,25 |
3,65 |
11 |
28,1 |
31,9 |
1,1 |
-2,3 |
-1,15 |
-0,05 |
12 |
31,9 |
34 |
2,1 |
1 |
0,5 |
2,6 |
13 |
35,4 |
36,1 |
2,1 |
0 |
0 |
2,1 |
14 |
37,8 |
39,4 |
3,3 |
1,2 |
0,6 |
3,9 |
15 |
39,2 |
42,7 |
3,3 |
0 |
0 |
3,3 |
16 |
41,8 |
45,8 |
3,1 |
-0,2 |
-0,1 |
3 |
17 |
45,2 |
49,4 |
3,6 |
0,5 |
0,25 |
3,85 |
18 |
46,5 |
53,6 |
4,2 |
0,6 |
0,3 |
4,5 |
19 |
50,99 |
55,8 |
2,2 |
-2 |
-1 |
1,2 |
20 |
58,8 |
62,5 |
6,7 |
4,5 |
2,25 |
8,95 |
Метод наименьших квадратов:
min ∑ [β x(t) – ν1' a(t) + ν2' b(t) – y(t)]2
∂F/∂β = 2∑[β x(t) – ν1' a(t) + ν2' b(t) – y(t)] x(t) = 0
∂F/∂ν1' = 2∑[β x(t) – ν1' a(t) + ν2' b(t) – y(t)] a(t) = 0
∂F/∂ν2' = 2∑[β x(t) – ν1' a(t) + ν2' b(t) – y(t)] b(t) = 0
(∑x2(t)) β – (∑a(t) x(t)) ν1' + (∑b(t) x(t)) ν2' = ∑x(t)y(t)
(∑a(t) x(t)) β – (∑a2(t)) ν1' + (∑a(t) b(t)) ν2' = ∑a(t)y(t)
(∑b(t) x(t)) β - (∑a(t) b(t)) ν1' + (∑b2(t)) ν2' = ∑b(t)y(t)
2
5072,88
β – 2101,8 ν1'
+ 136,36 ν2'
= 22969,159
2101,8 β – 221,35 ν1' + 29,94 ν2' = 1930,4515
136,36 β – 29,94 ν1' + 9,570 ν2' = 129,9555
25072,88 -2101,8 136,36
∆ = 2101,8 -221,35 29,94 = -1406772,351
136,36 -29,94 9,57
22969,159 -2101,8 136,36
∆ β = 1930,4515 -221,35 29,94 = -1373481,298
129,9555 -29,94 9,57
25072,88 22969,159 136,36
∆ ν1' = 2101,8 1930,452 29,94 = -1230341,475
136,36 129,956 9,57
25072,88 -2101,8 22969,159
∆ ν2' = 2101,8 -221,35 1930,452 = -3382060,425
136,36 -29,94 129,956
β = ∆ β / ∆ = 0,976 – доля фондообразующих капитальных вложений
ν1' = ∆ ν1'/ ∆ = 0,875
ν2' = ∆ ν2' / ∆ = 2,404
ν1 = ν1' / β = 0,896 – математическое ожидание, срок, в течение которого кап вложения не работают
ν2 = ν2' / β = 2,462 - дисперсия
Дисперсия лагов:
Оценим
максимальный лаг n
с помощью неравенства Чебышева (с
точностью
):
В нашем случае:
Отсюда:
Мы
получили высоконадежные оценки
,
,
и невысоконадежную оценку
.
Найдем закон распределения, наиболее близкий к истинному. По определению:
Подставляя наши значения и решая, получим:
Тогда
,
i=0.1…5.
Оценим конкретные вероятности:
Проверим, выполнение условия согласования:
z(t) = z(t-1) + β(t) x(t) – y(t)-динамическое структурно-балансовое уравнение
z(t) – незавершенное строительство
z(t) - z(t-1) + y(t)
β(t) =
x(t)
z(t) |
z(t)-z(t-1) |
β(t) |
10,2 |
- |
- |
11,7 |
1,5 |
0,999 |
12,9 |
1,2 |
1,006 |
14,1 |
1,2 |
0,984 |
15,0 |
0,9 |
0,943 |
16,0 |
1,0 |
0,920 |
17,6 |
1,6 |
0,932 |
17,5 |
-0,1 |
0,943 |
19,0 |
1,5 |
0,945 |
21,4 |
2,4 |
0,964 |
24,8 |
3,4 |
0,987 |
26,1 |
1,3 |
0,976 |
26,2 |
0,1 |
0,983 |
27,1 |
0,9 |
0,982 |
29,6 |
2,5 |
0,977 |
32,5 |
2,9 |
0,976 |
35,8 |
3,3 |
0,982 |
41,8 |
6,0 |
0,979 |
49,6 |
7,8 |
1,054 |
52,5 |
2,9 |
0,987 |
β = ∑ β(t) / 19 = 0,975