13. (2) Деление отрезка в данном отношении

Пусть М₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂)-различные точки плоскости

Пусть М(х,у) лежит на отрезке М₁M₂ и делит его в отношении ₁: ₂, т.е. М₁M / МM₂=₁/ ₂

Требуется выразить координаты х и у точки М через координаты точек М₁ и M₂ и числа ₁, _2. Предположим, что отрезок М₁M₂ не пераллелен оси ОУ, отсюда: М₁M / МM₂= М_1хMх / МхM_2х;

М_1хMх=x₁-x; МхM_2х=x-x₂, т.е. x₁-x/x-x₂=₁/ ₂

Тоска М лежеит м/у точками М₁ и M₂ х₁ х х₂ либо х₁  х  х₂  разности . x₁-x и x-x₂ имеют одинаковые знаки, а x₁-x/x-x₂=₁/ ₂ отсюда: х=₂ х₁ + ₁ х₂ /₁+₂

В случае, когда М₁M₂ параллелен ОУ, т.е. х₁=х₂=х справедливость формулы у= х=₂ у₁ + ₁ у₂ /₁+₂ доказывается аналогичным рассуждением.

14. Уравнение окружности, уравнение эллипса

Уравнение окружности. Вывод:

общее свойство точек окружности |СМ| = R;

переход к координатной форме общего свойства

(х – а)² + (у – в)² = R, (х – а)² + (у – в)² = R².

Вывод уравнения окружности:

обозначим через М (х, у) произвольную точку линии;

запишем равенством общее свойство всех точек линии;

входящие в это равенство отрезки выразим через текущие координаты (х, у) точки М и другие параметры задачи.

Фигура окружность.

Общее свойство |ОМ| = R.

(х²+ у²) = R.

х²+ у² = R².

Эллипс - это геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем уравнение эллипса. Пусть, согласно определени Легко проверить (по известной из школы формуле расстояния между двумя точками), что верны следующие равенства:

Поэтому из равенства r₁+r₂=2a получаем:

или (a²-c²)x²+a²y² = a²(a²-c²), а так как a>c (или 2a>2c в треугольнике MF₂F₁), то a²-c²>0. Обозначим b²=a²-c², тогда получим b²x²+a²y² = a²b², или соотношение вида:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, величины r₁ и r₂ - фокальные радиусы точки M(x;y), F₁, F₂ - фокусы эллипса, x=0, y=0 - оси симметрии, величина 2a - большая ось, 2b - малая ось, 2c=|F₁F₂| - фокусное расстояние, величина - эксцентриситет эллипса.

ю эллипса, r₁+r₂= |F₂M| + |F₁M| =2a-const.

15. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве. Уравнение сферы

Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz, то точка A пространства, имеющая координаты x (абсцисса), y (ордината) и z (аппликата), обозначается A(x,y,z).

Расстояние d между двумя точками A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂) определяется по формуле:

.

(1)

В частности, расстояние d точки A(x,y,z) от начала координат определяется по формуле .

Пусть отрезок AB, соединяющий точки A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂) разделен точкой C(x₀,y₀,z₀) на два отрезка AC и CB, причем . Тогда координаты точки C(x₀,y₀,z₀), делящей отрезок AB в отношении (считая от A к B) определяется формулами

.

(2)

Координаты середины отрезка, т.е. когда или AC=CB можно вычислить по формулам

.

(3)

Уравнение сферы:

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

Множество точек , координаты которых удовлетворяют уравнению , где , , и --- заданные числа, есть сфера радиуса с центром , т.е. уравнение является уравнением сферы.