2.4.2. Адиабатический тепловой взрыв

Так как теплоотвода нет, выделяющееся при реакции тепло расходуется только на нагрев исходного вещества и продуктов реакции. Продукты реакции в момент образования распределены внутри исходного вещества и имеют одинаковую с ним температуру. Если продукты реакции газообразные, после выхода из твердого разлагающегося образца они с течением времени даже в адиабатических условиях могут принимать другую температуру (Махе’- эффект, см. в разделе о горении). Чтобы не учитывать этот усложняющий эффект, будем рассматривать процесс только в начальной его стадии, когда еще мала (по сравнению с 1) степень разложения и поэтому можно пренебречь теплом, которое получил и получает газ, по сравнению с теплом, полученным и получаемым твердым веществом. Оказывается, при достаточно больших значениях энергии активации (которые как раз и реализуются на практике) исследование при малой степени разложения позволяет качественно и даже количественно описать условия теплового взрыва.

Тогда первая фраза этого раздела для единицы объема и интервала времени dt математически может быть записана в виде

QWdt = cdT (10)

Подставляя сюда (6) и используя начальное условие T_t=0 = T₀, получим решение (10) в виде

(11)

Интеграл (11) не выражается через элементарные функции, но с хорошей точностью может быть вычислен приближенно при E/RT₀ >> 1. С этой целью используем для подынтегрального выражения разложение Франк-Каменецкого, которое сводится к замене показателя экспоненты его разложением в ряд Тэйлора с точностью до двух членов

(12)

Подстановка в (11) и интегрирование дают

(13)

На рис. 5 кривая (13) схематично изображена в виде сплошной линии, на которой температура неограниченно возрастает при t  t_{ad .} Разумеется, бесконечная температура здесь не имеет физического смысла и возникает только потому, что при выводе (13) не было учтено уменьшение (до нуля) предэкспонента k в ходе реакции.

Рис.5. Адиабатический тепловой взрыв

На практике температура может повыситься только до конечной величины T_ad и реализуется штриховая линия на рис. 5. Если теплоемкости исходного вещества и продуктов реакции без большой ошибки можно считать одинаковыми и равными с, то T_ad = T₀ +cQ. Возникает вопрос, зачем тогда нужна формула (13). Ответ: она хорошо аппроксимирует (приближенно описывает) реальную (штриховую) линию T(t) от начала процесса и до вспышки, если условимся называть вспышкой наиболее быструю часть всего процесса адиабатического взрыва. Наиболее быстрая математически означает максимальность dT/dt, а геометрически это означает район точки перегиба реальной кривой. Входящая в (13) величина t_ad приближенно соответствует времени вспышки.

ЗАДАНИЕ 2 (одинаковое для всей группы): построить график и привести таблицу (рассчитав не менее 5 точек) для зависимости t_ad(T₀) в интервале 100⁰С < T₀ < 150⁰С, если задано

E = 133.76 кДж / моль, k = 1.2 10¹³г/(см³с), Q = 4180 кДж/кг, с = 0.3 кал/(гК),  = 1600 кг/м³. Будьте внимательны с размерностями!