12 Ряд Фур’є з періодичної функції з періодичної функції.Теор Діріхле.

Нехай f(x) обмежена та кусково-монотонна на [-П;П]. Тоді її ряд Фур’э збіг. В кожній точці проміжка до значення:

*

Функція, яка задовол. Умовам теореми може мати розриви тільки I роду.Це означає, що в кожній точці існують

Очевидно, що в точці неперервності:

Отже , ряд Фур’є майже в кожній точці збіг. до f(x)

Теорема 2: Нехай та мають скінчену кількість точок розриву на проміжку [-П;П].Тоді ряд Фур’є збігається в кожній точці до значення :

Ряд Фур’є 2П- періодичної функції:

Будемо розкладати ф-цію f(x) у ряд Фур’є по синусам:

Для цього необхідно продовжити f(x) вліво непарним чином:

1)Намалюємо графік функції: 2)

3)Продовжимо другу ф-цію періодично з періодом 2П

Одержимо ф-цію :

4)Функція обмежена та кусково-монотонна на [-П;П]. Отже за т. Діріхле, її ряд збігається до значення S(x), або S(x)- не має розривів.

5)Знаходимо коефіцієнти: a₀₌a_n=0

Проінтегруємо частинами:

6) Запишемо ряд Фур’є:

при

7)Малюэться графік функції f(x).

Ф-ція може бути задана на проміжку довжиною 2П. Напр.:

Можна показати, що в цьому випадку формули для коефіцієнтів мають вид:

n=1,2,3

n=1,2,3

13 Ряд Фур’є для парних і непарних функцій.

1) - непарна

2) – парна

1. Нехай ) – непарна і задовольняє умовам теореми Діріхлє

– ряд Фур’є.

непарна.

– парна. n є N

2. – парна ряд Фур’є.

Теорема Діріхлє: Нехай обмежена та кусково-монотонна на . Тоді її ряд Фурє збігається в кожній точці проміжка до значення: . В точках неперервності функції сума ряду S(x) співпадає із самою функцією: S(x)=f(x).

14 Ряди Фур’є з довільним періодом. Ряд Фур’є функції заданої на дов. Проміжку. Теор. Діріхле.

Нехай f(x) – періодична функція з періодом Т задана на відрізку [a;b] і можна розбивати її періодично.

Нехай

Зробимо заміну змінних

Якщо f(x) задовольняє умовам теореми Діріхле і функція g(t) задовольняє цим умовам. g(t) періодична .

Отже, має місце співвідношення

Зробимо зворотню заміну

Часто

Отже,

Аналогічно:

1. Якщо f(x) – парна:

2. f(x) – непарна:

Можливо 2 задачі:

1. Розкласти в ряд Фур’є f(x), T,

2. f(x),

Вважаємо - період.

,

Теорема Діріхле: нехай f(x) обмежена та кусково-монотонна на . Тоді її ряд Фур’є збігається в кожній точці проміжка до значення: В точках неперервності функції сума ряду S(x) співпадає із самою функцією:

15 Ряд Фур’є в комплексній Формі. Теорема Діріхле.

Можна цю формулу обґрунтувати за допомогою рядів Маклорена.

формально замість

Підставимо ці формули в ряд Фур’є:

Запишемо ряд у вигляді:

В цих позначеннях амплітудно-частотний спектр

Теорема Діріхле: нехай f(x) обмежена та кусково-монотонна на . Тоді її ряд Фур’є збігається в кожній точці проміжка до значення: В точках неперервності функції сума ряду S(x) співпадає із самою функцією: