21 Геометричний зміст модуля.
Нехай
– аналітична в точці
.
Це означає, що вона диференційована в
деякому околі
– неперервна в околі
.
Означення:
Шлях
на комплексній площині – це неперервне
відображення проміжка
на комплексну множину (С).
Множину точок на комплексній площині можна назвати кривою. Ту ж саму криву можна задати за допомогою іншого шляху.
Крива на комплексній площині – це сукупність усіх еквівалентних шляхів.
Розглянемо
деякий шлях:
на площині
,
який проходить через точку
.
Наша
крива переходить в криву:
Припустимо,
що функція
- диференційовна.
Розглянемо
модуль похідної
.
-
коефіцієнт розтягу усіх кривих, що
проходить через
.
Нехай точка рухається до точки по кривій:
Нехай
існує похідна
Отже, визначений аргумент
Тоді аргумент похідної:
Отже,
аргумент похідної дорівнює куту кола,
на який повертаються усі криві в точці
Означення: Відображення площини на площину називається комформне, якщо залишаються незмінними кути між кривими.
Аналітична
функція задає конформне відображення
у всіх точках, де
(
22 Елементарні функції та їх властивості
Можна
вивести функції:
,
sinz, cosz
– як суми степеневих рядів.
Означення:
Отже,
;
Легко
перевірити, що умови Коші-Рімена
виконуються в будь-якій точці, отже ця
функція ціла. Неважко показати, що
.
Функція проходить полосу:
у кут:
– функція
обернена до функції
Ця функція має рівно n – значень.
Дійсно,
функція
переходить
в
Отже,
обернена функція в кожній точці ставить
у відповідність n – значень.
23 Елементарні функції sinz;cosz;lnz
1).
За
означенням:
При
:
- необмежена.
При
:
,
– обмежена,
періодична.
;
;
При
y
=
0
:
– періодичні,
обмежені.
При
x
=
0
:
– неперіодичні,
необмежені.
2).
;
Зв'язок між тригонометричними і гіперболічними функціями:
Отже,
з гіперболічними функціями
відбувається
навпаки.
При
х =
0
:
– періодичні.
При
y
= 0
:
- необмежена, періодична.
3).
Розглянемо
функцію обернену до
.
Вона
має безліч значень, тому що має відповідне
значення у кожній полосі.
Нехай
Позначимо обернену функцію слідуючим чином:
або
24 Обернено тригон.Функції та їх властивості.
Розглянемо
функцію
,
як функцію, обернену до
.
Для цього розв’яжемо рівняння відносно
.
Розв’яжемо квадратне рівняння:
Аналогічно одержується:
25 Інтегра від функції комплексної змінної. Його властивості,формула обчислення(довести 4 власт)
Нехай
в кожній точці деякої гладкої кривої L
з початком в точці z0
і кінцем в точці Z
визначена неперервна функція f(z).
Розібємо
криву L
на n
частин в напрямку від z0
до z
точками
.
В кожній елементарній дузі
виберемо довільну точку
і
зіставимо інтегральну сумму
де
.
Границя такої інтегральної сумми при
прямуванні до нуля найбільшої з
елементарних дуг, якщо він існує,
називаеться
інтегралом від функції
f(z)
по кривій L
і позначаеться символом
.
Таким чином
Покажемо
що якщо L
– гладка крива , а f(z)
–неперервна і однозначна ф-я, то інтерал
існує. Дійсно нехай
тоді
тому
Обидвісумми
, що знаходяться в правій частині
останньої рівності, являються інтегральними
суммами для відповідних криволінійних
інтегралів. При зроблених припущенняхпро
криву L
і функції f(z)
границі цих сумм існують . Тому при
переході до границі в останній рівності
при
отримаємо
Остання формула показує що обчислення
комплексних інтегралів зводиться до
обчислення криволінійих інтегралів в
дійсній площині.
Можназаписати
у вигляді
Якщо
z=z(t)=x(t)+iy(t)
то можна записати у вигляді
Основні власт. Інттегр функ коплекс
змінної
a-комплексне
