Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
,
которая
имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы. В последнем выражении
-
-
выборочное среднее,
- исправленное среднее квадратическое
отклонение,
- объем выборки; возможные значения
случайной величины T
мы будем обозначать через t.
Плотность распределения Стьюдента
имеет вид
,
где
некоторая постоянная, выражающаяся
через гамма – функции.
Несколько
слов о распределении Стьюдента. Пусть
- независимые стандартные нормальные
величины. Тогда случайная величина
имеет
распределение
Стьюдента (В.
Госсет) с
степенями свободы. При росте числа
степеней свободы распределение Стьюдента
стремится к нормальному распределению
и уже при
использование нормального распределения
дает хорошие результаты.
Как
видно, распределение Стьюдента
определяется параметром n
– объемом выборки (или, что то же самое
– числом степеней свободы
)
и не зависит от неизвестных параметров
.
Поскольку
- четная функция от t
, то вероятность выполнения неравенства
определяется следующим образом:
.
Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала
Итак,
с помощью распределения Стьюдента
найден доверительный интервал
,
покрывающий неизвестный параметр a
с надежностью
.
По таблице распределения Стьюдента и
заданным n
и
можно найти
и
используя найденные по выборке
и
,
, можно определить доверительный
интервал.
Пример.
Количественный признак X
генеральной совокупности распределен
нормально. По выборке объема n
= 16 найдены генеральное среднее
и исправленное среднее квадратическое
отклонение
.
Требуется оценить неизвестное
математическое ожидание при помощи
доверительного интервала с надежностью
0,95.
Решение.
Найдем
по таблице распределения Стьюдента,
используя значения
.
Этот параметр оказывается равным 2,13.
Найдем границы доверительного интервала:
То
есть с надежностью 0,95 неизвестный
параметр a
заключен в доверительном интервале
Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.
. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр с заданной надежностью .
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение
или
Преобразуем
двойное неравенство
в равносильное неравенство
и обозначим
/ s
= q.
Имеем
(A)
и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину
Оказывается,
величина
распределена по закону
с n
– 1 степенями свободы.
Несколько
слов о распределении хи-квадрат. Если
- независимые стандартные нормальные
величины, то говорят, что случайная
величина
имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.
Плотность распределения имеет вид
Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n.
Преобразуем
неравенство (A)
так, чтобы оно приняло вид
.
Вероятность этого неравенства равна
заданной вероятности
,
т.е.
.
Предполагая, что q < 1, перепишем (A) в виде
,
далее,
умножим все члены неравенства на
:
или
.
Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна
.
Из
этого уравнения можно по заданным
найти
,
используя имеющиеся расчетные таблицы.
Вычислив по выборке
и найдя по таблице
,
получим искомый интервал (A1),
покрывающий
с заданной надежностью
.
Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s = 0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.
Решение.
По заданным
по таблице находим значение q
= 0.32. Искомый доверительный интервал
есть
.
Мы предполагали, что q < 1. Если это не так, то мы придем к соотношениям
,
и значение q >1 может быть найдено из уравнения
