Множественная линейная регрессия

На экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Например, спрос на некое благо определяется не только ценой данного блага, но и ценами на замещающие и дополняющие блага, доходом потребителей и многими другими факторами. В этом случае рассматривается множественная регрессия

.

Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид

.

Для оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии также, как правило, используется метод наименьших квадратов.

Нелинейная регрессия

Многие экономические зависимости не являются линейными. Например, при анализе эластичности спроса по цене применяется так называемая логарифмическая модель, при анализе издержек от объема выпуска – полиномиальная (кубическая) модель. Часто применяются и другие модели – например, обратная и экспоненциальная. Кратко рассмотрим некоторые из моделей нелинейной регрессии.

1. Логарифмическая модель.

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой

где A,  - параметры модели. Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X (в этом случае   0) или от дохода X (0 – функция Энгеля). Прологарифмировав обе части последнего соотношения, получим ; замена переменных позволяет свести уравнение к линейному виду

.

По МНК можно рассчитать значения параметров аналогично случаю линейной модели (при этом вместо рассматриваются ).

2. Обратная модель.

Обратная модель имеет вид

.

Заменой эта модель сводится к линейной. Обратная модель применяется, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции.

3. Степенная модель.

Степенная функция вида

при m=3 (кубическая функция) в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек от объема выпуска; квадратичная функция (m=2) отражает зависимость между объемом выпуска и средними или предельными издержками. Модель может быть сведена к линейной модели множественной регрессии с помощью замены . Параметры модели определяют с помощью МНК.

4. Показательная модель.

Показательная функция

может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прироста во времени. Примером может служить производственная функция Кобба – Дугласа с учетом научно – технического прогресса

,

где K – затраты капитала, L – затраты труда,  характеризует темпы роста объема производства.

Прологарифмировав, получаем соотношение

,

которое сводится к линейному виду с помощью замен .

В заключение отметим, что построение и проверка качества уравнения регрессии требуют применения методов корреляционного анализа, позволяющих производить отбор существенных для описания регрессионной зависимости факторов.

Лекция 17 (уир). Понятие о корреляционном анализе.

Экономические явления и процессы находятся в тесной взаимосвязи, и исследование этой взаимосвязи играет важную роль в экономических исследованиях. Знание взаимосвязей отдельных экономических параметров дает возможность прогнозировать развитие ситуации при изменении конкретных характеристик объекта исследования. Основное содержание экономической политики, в конечном счете, может быть сведено к регулированию экономических переменных, осуществляемому на базе выявленной информации об их взаимовлиянии. Поэтому проблема изучения взаимосвязей показателей является одной из важнейших в статистическом анализе экономических систем.

Для исследования силы связи между переменными широко применяется корреляционный анализ, позволяющий, совместно с регрессионным анализом, решать задачи прогнозирования, планирования и анализа хозяйственной деятельности экономических систем (предприятий, фирм, отраслей и т.д.).

Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями. Связи между явлениями могут быть различны по силе (интенсивности). Если случайные переменные причинно обусловлены, то имеется корреляция.

Таким образом, если в регрессионном анализе исследуется форма связи между переменными, то в корреляционном анализе исследуется сила (теснота) связи.

Корреляция может быть:

• В зависимости от характера - положительной или отрицательной;

• В зависимости от числа переменных – простой или множественной;

• В зависимости от формы связи – линейной или нелинейной.

К важнейшим задачам корреляционного анализа можно отнести:

• Измерение силы связи двух или более факторов;

• Отбор факторов, оказывающих существенное влияние на результативный признак (зависимую переменную) на основании измерения тесноты связи.

В случае лишь одной независимой переменой X в качестве меры связи между ней и зависимой переменной Y служит коэффициент корреляции. Он оценивается по выборке объема n связанных пар наблюдений (x_i, y_i). В случае нескольких переменных необходимо последовательно вычислять коэффициенты корреляции по нескольким рядам числовых данных. Полученные коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами.

Корреляционная матрица представляет собой квадратную матрицу, на пересечении строки и столбца которой находится коэффициент корреляции между соответствующими переменными.

Если в результате испытаний система двух случайных величин приняла значения , то коэффициент корреляции равен

где - средние значения, а - средние квадратические отклонения случайных величин соответственно.

Для многомерной выборки (т. е. в случае более двух факторов) необходимо рассчитать корреляционную матрицу

,

которая является симметричной относительно главной диагонали.

Пример

Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музея и парка, приведенные в таблице

Число ясных дней (X1)	Количество посетителей музея (X2)	Количество посетителей парка (X3)
8	495	132
14	503	348
20	380	643
25	305	865
20	348	743
15	465	541

Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков. В результате расчета получим корреляционную матрицу

Из корреляционной матрицы видно, что корреляция между состоянием погоды и посещаемостью музея равна -0,921, а между состоянием погоды и посещаемостью парка 0,975. Таким образом, выявлена отрицательная корреляция между посещаемостью музея и количеством солнечных дней и практически линейная положительная корреляция между посещаемостью парка и состоянием погоды.

Чрезвычайно важным понятием корреляционного анализа является остаточная дисперсия. Фактически, выбор вида уравнения регрессии осуществляется экспериментальным методом – путем сравнения величины остаточной дисперсии, рассчитанной при разных моделях.

Если кривая регрессии проходит через все точки корреляционного поля (что возможно лишь при функциональной связи), то фактические значения результативного признака Y совпадают с теоретическими. При этом значения результативного признака полностью обусловлены влиянием рассматриваемого фактора и остаточная дисперсия равна нулю.

На практике, как правило, наблюдается некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии из-за влияния не учитываемых в уравнении регрессии факторов и ошибок измерений. Иными словами, имеют место отклонения фактических данных от теоретических ( ). Величина этих отклонений и определяет величину остаточной дисперсии

,

где - фактические, - теоретические данные.

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не учитываемых в уравнении регрессии факторов, и тем лучше уравнение регрессии соответствует исходным данным. При обработке статистических данных на компьютере перебираются разные математические функции, и из них выбирается та, для которой остаточная дисперсия является наименьшей.

Рассмотрим сначала случай парной корреляции.