19. 2. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, ..., В_n, которые образуют полную группу. Пусть известны условные вероятности Р_В1 (А), Р_В2 (А), ..., Р_Вn (А).

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий Р_В, Р_В2, ..., Р_Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

Р (А)=Р (В₁) Р_В1 (А)+Р (В₂) Р_В2 (А)+...+Р (В_n) Р_Вn (А) - это есть «Формула полной вероятности».

Доказательство. Т.к. событие А может наступить только вместе с одним из несовместных событий В₁, В₂, ..., В_n, то А=В₁А+В₂А+...+В_nА, то

по теореме о сложении вероятностей несовместимых событий

Р (А)=Р (В₁А)+Р (В₂А)+...+Р (В_nА)

По теореме умножения

Р (В₁А)=Р (В₁)  Р_В1 (А),

Р (В₂А)=Р (В₂)  Р_В2 (А),

.........................................

Р (В_nА)=Р (В_n)  Р_Вn (А).

Тогда т.е. Р (А)=Р (В₁) Р_В1 (А)+Р (В₂) Р_В2 (А)+...+Р (В_n) Р_Вn (А)

Пример. При механической обработке станок может работать в двух режимах 1) рентабельном и 2) нерентабельном.

Рентабельный режим наблюдается в 80% всех случаев работы, нерентабельный - в 20% случаев. Вероятность выхода станка из строя за время t работы в рентабельном режиме равна 0,1,в нерентабельном - 0,7. Найти полную вероятность Р (А) выхода станка из строя за время t.

Решение. А - выход станка из строя за время t.

В₁ - работа станка в рентабельном режиме;

В₂ - работа станка в нерентабельном режиме.

Р_В1 (А)=0,1; Р_В2 (А)=0,7.

Р (А)=Р (В₁) Р_В1 (А)+Р (В₂) Р_В2 (А)=0,8  0,1+0,25  0,7=0,22.

19.3. Формулы Бейеса (формулы переоценки вероятностей гипотез)

Пусть А - событие, которое может наступить лишь с одним из несовместных событий В₁, В₂,..., В_n, образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Уже знаем, что Р (А) определяется по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Встает вопрос: какова вероятность того, что событие А произошло совместно с гипотезой, например В₁, т.е. Р_А (В₁) - ? Для решения подобных вопросов поступим следующим образом.

Сначала найдем Р_А (В₁)

По теореме умножения Р (АВ₁)=Р (А) Р_А (В₁)=Р (В₁) Р_В1 (А)

Аналогично формулы Бейеса английский математик, опубликованы в 1764 г.

19. 4. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Ранее были рассмотрены вероятности событий, возникающих в результате единичных испытаний. Однако наибольший интерес вызывают сложные события.

На практике часто встречаются такая схема событий, при которой испытания повторяются. Эта схема называется схемой повторных испытаний, или схемой Бернулли.

Пример 1. Вы приобрели несколько лотерейных билетов и желаете знать вероятность выигрыша. Покупка каждого билета есть не что иное, как испытание, а исходом испытания является выигрыш (случайное событие). Покупка нескольких билетов уже образует схему повторных испытаний.

Пример 2. Рабочий изготавливает на станке однотипные детали. Каждая может оказаться годной или бракованной. Возникает вопрос: какова вероятность того, что из n деталей k окажутся годными? Здесь имеет место схема повторных испытаний.

Легко заметить, что ситуация, возникшая в схеме Бернулли, является весьма жизненной. Дадим математическую формулировку задачи, возникшей при повторных испытаниях. Пусть производится несколько испытаний, в каждом из которых может появится событие А с вероятностью р и не появиться с вероятностью g=1-р. Испытания независимые относительно события А, т.е. вероятность появления события А в одном испытании не зависит от исходов других испытаний. Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А появится (осуществится) ровно k раз и, следовательно, не осуществится n-k раз.

Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, возможны случаи

А А АА, А АА А, АА А А, А А А А (19.5.)

Обозначим:

Р_n (К) - вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз.

Поставленную задачу решает формула Бернулли.

Вероятность сложного события, состоящего в том, что событие А произойдет k раз и не произойдет n-k раз, будет равна р^kg^n-k,

т.к. события А, А независимы.

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетание из n элементов по k, т.е. Т.к. эти сложные события несовместны (см. (19.5.)), то по теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р_n (k)=C р^kg^n-k (19.6.)

или

Р_n (k)= (19.7.)

(19.6.) или (19.7.) - формула Бернулли.

Пример. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна р. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t откажут ровно 2 узла.

Решение. Отказ узла - событие А, Р (А)=р.

р₁₀ (2) - вероятность того, что из 10 узлов ровно 2 откажут. Узлы работают независимо один от другого, вероятность отказа каждого из них р, т.е. можно применить формулу Бернулли.

р₁₀ (2)=С р² g^10-2= p² (1–p)⁸=45p² (1–p)⁸.