20. 5. Простейший пуассоновский поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примеры. Число поступлений вызовов на АТС, на пункт скорой помощи.

Выделим следующие 3 свойства потоков:

1. Свойство стационарности характерно тем, что вероятность появления m событий на любом промежутке времени t зависит только от числа m и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета. При этом промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Итак, если поток обладает свойством стационарности, то Р=Р (m, t).

2. Свойство «отсутствия последствия» характеризуется тем, что предыстория потока не сказывается на вероятности появления события в ближайшем будущем.

3. Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Поток событий, обладающий указанными тремя свойствами, называется пуассоновским потоком событий.

Интенсивностью потока  называется среднее число событий, появляющееся в единицу времени. Можно показать, что, если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона Р_t (k)=

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Лекция 21. Числовые характеристики

дискретной случайной величины

21.1. Числовые характеристики случайной величины.

Их роль и назначение

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распространения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Во многих вопросах практики зачастую нет необходимости полностью характеризовать случайную величину, бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, например, какое-то среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины или какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего, и т.д.

Определение. Характеристики, назначение которых - выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик: математическое ожидание, мода, медиана - это те числовые характеристики, которые характеризуют некоторое среднее значение случайной величины; дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др. - числовые характеристики, которые характеризуют разброс значений случайной величины около среднего значения; существуют и другие числовые характеристики случайной величины, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения, в частности, моменты.

21.2. Математическое ожидание и его основные свойства

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Х	х1	х2	...	хn
Р	р1	р2	...	рn

М (Х)=х₁р₁+х₂р₂+...+х_nр_n

Из определения математического ожидания ясно, что М (Х) - не случайная (постоянная) величина. Но, каков вероятностный смысл математического ожидания?

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла m₁ раз значение х_1, m₂ раз значение х_2, m_k раз значение х_k, тогда сумма всех значений, принятых Х, равна х₁ m₁+х₂ m₂+...+х_k m_k. Найдем среднее арифметическоеХ всех значений, принятых случайной величиной.

Пусть n - общее число испытаний

= или = (21.1)

Заметим, что - относительная частота появления значения х₁, - относительная частота появления значения х₂, ... .

= х₁ р + х₁ р + ...+х_k р (21.2.)

Допустим, что число испытаний n достаточно велико. Тогда относительная частота приблизительно равна вероятности появления события, т.е.

р  р₁, р  р₂, ..., р  р_k, т.е. = М (Х)

Итак, математическое ожидание приближено (тем точнее, чем больше число испытаний) равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины - в этом вероятностный смысл математического ожидания.

Из определения математического ожидания ясно, что если на числовой оси отложить М (Х) и значения случайной величины, то эти значения расположатся и слева, и справа от М (Х). В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения или центром рассеяния.

Замечание. Происхождение термина «математическое ожидание» возникло с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI - XVII век), когда область применения ограничивалась азартными картами. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша или математическое ожидание выигрыша.

Пример. Стрелку выдается 3 патрона. Стрельба ведется до первого попадания или пока не израсходованы все патроны. Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле 0,8.

Решение. Х - число израсходованных патронов.

Х	1	2	3
Р	0,8	0,2  0,8	0,22

М (Х)=1  0,8+2  0,2  0,8+3  0,2²=1,24

Следовательно, при заданных условиях стрельбы на 100 выстрелов в среднем будет израсходовано 124 патрона.

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной М (С)=С.

Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью р=1. М (С)=С  1=С.

Определение. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную величину СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения величины Х, а вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х, если

Х	х1	х2	...	хn
Р	р1	р2	...	рn	то,

СХ	Сх1	Сх2	...	Схn
Р	р1	р2	...	рn

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М (СХ)=С  М (Х).

Доказательство.

М(СХ)=Сх₁ р₁+Сх₂ р₂+...+Сх_n р_n=С(х₁р₁+х₂р₂+...+х_np_n)=СМ (Х).

Итак, М (СХ)=СМ (Х).

Определение. Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина:

Определение. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Определим произведение независимых случайных величин Х и Y как случайную величину Х  Y, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значений сомножителей.

Например, если вероятность Х=х₁ равна р₁, а вероятность Х=y₁ равна g₁, то вероятность ХY=х₁ у₁ равна р₁ g₁.

Свойство 3. Математическое ожидание произведение двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М (ХY)=М (Х) М (Y).

Доказательство.

Пусть:	Х	х1	х2	и		Y	у1	у2
	Р	р1	р2			Р	g1	g2

тогда	ХY	х1 у1	х2 у1	х1 у2	х2 у2
	Р	р1 g1	р2 g1	р1 g2	р2 g2

М(ХY)=х₁у₁р₁g₁+х₂у₁р₂g₁+х₁у₂р₁g₂+х₂у₂р₂g₂=у₁g₁(х₁р₁+х₂р₂)+у₂g₂(х₁р₁+х₂р₂)=

=(х₁р₁+х₂р₂)(у₁g₁+у₂g₂)=М(Х)М(Y).

Определение. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым из возможных значений Y, Вероятности возможных значений Х+Y для независимых величин Х и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Следующее свойство справедливо как для зависимых так и для независимых величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М (Х+Y)=М (Х)+М (Y).

Доказательство.

Пусть:	Х	х1	х2	и		Y	у1	у2
	Р	р1	р2			Р	g1	g2

Найдем все возможные значения случайной величины Х+Y, так что к каждому возможному значению случайной величины Х принимает каждое из возможных значений Y: х₁+у₁, х₁+у₂, х₂+у₁, х₂+у₂, Обозначим вероятность этих значений соответственно: р₁₁, р₁₂, р₂₁, р₂₂, т.е.

Х+Y	х1+у1	х1+у2	х2+у1	х2+у2
Р	р11	р12	р21	р22

Тогда М (Х+Y)=(х₁+у₁) р₁₁+(х₁+у₂) р₁₂+(х₂+у₁) р₂₁+(х₂+у₂) р₂₂=

=х₁ (р₁₁+р₁₂)+х₂ (р₂₁+р₂₂)+у₁ (р₁₁+р₂₁)+у₂ (р₁₂+р₂₂) (21.3.)

Докажем, что р₁₁+р₁₂=р₁

Событие, состоящее в том, что Х=х₁ (его вероятность р₁) влечет за собой событие, которое состоит в том, что Х+Y=х₁+у₁ или х₁+у₂ (вероятность такого события по теореме сложения равна р₁₁+р₁₂).

Обратно: если Х+Y=х₁+у₁ или х₁+у₂, то это влечет то, что Х=х₁.

Отсюда и следует, что р₁₁+р₁₂=р₁.

Аналогично р₂₁+р₂₂=р₂, р₁₁+р₂₁=g₁, р₁₂+р₂₂=g₂.

Подставляя правые части этих равенств в (21.3.), получим

и (Х+Y)=(х₁ р₁+х₂ р₂)+(у₁ g₁+y₂ g₂), или М (Х+Y)= М (Х)+М (Y).

Следствие 1. М (Х+Y+Z)=M (X)+M (Y)+M (Z).

Следствие 2. М (Х–Y)=M (X)–M (Y).