Теоретичне обгрунтування моделі.
Оцінка лінії регресії.
Вимірювання тісноти зв’язку між ознаками, визначення ролі фактора х у зміні результатативної ознаки у.
Перевірка істотності зв’язку, доказ невипадкового характеру виявлених закономірностей.
. Таблиці співзалежності.
При стохастичному зв’язку кожному значенню ознаки х відповідає певна множина значень ознаки у, які варіюють і утворюють ряд розподілу (умовний). Стохастичний зв’язок проявляється зміною умовних розподілів.
Розглянемо комбінаційну таблицю як результат комбінаційного розподілу господарств за двома ознаками одночасно (за урожайністю та продуктивністю праці у садівництві) (табл.1).
Таблиця 1
Комбінаційний розподіл господарств за урожайністю та продуктивністю праці
Групи за врожайністю,
ц/га
Кількість господарств за рівнем продуктивності праці, ц
Разом
до 270
270-320
320-370
370 і більше
До 70
5
1
-
-
6
70-140
-
4
5
1
10
понад 140
-
-
-
4
4
Разом
5
5
5
5
20
Побудовану таким чином табл.1 називають таблицею співзалежності (взаємної спряженості). У ній у рядках, крім підсумкового, розміщені частоти (частки) умовних розподілів господарств за рівнем продуктивності праці при фіксованому значенні урожайності (при умові, що урожайність зафіксована - умовні розподіли). Підсумковий рядок містить частоти безумовного розподілу. Порівняння частот умовних розподілів дає можливість визначити наявність стохастичного зв’язку. У даному випадку зв’язок між ознаками стохастичний, оскільки кожному значенню (інтервалу значень) ознаки х відповідає декілька значень ознаки у, а частоти розміщені та сконцентровані по діагоналі. При відсутності стохастичного зв’язку між ознаками умовні розподіли були б однакові і збігалися б з безумовним розподілом.
Методи аналітичного групування та кореляційно-регресійного аналізу використовують основні параметри розподілу - середні та дисперсії. Тому ці методи називаються параметричними.
У статистиці широко застосовуються і непараметричні методи визначення взаємозв’язків, які ґрунтуються на кількісних значеннях ознак і не потребують обчислення параметрів їх розподілів. Крім того непараметричні методи застосовуються не тільки тоді, коли ознаки (всі, як у кореляційно-регресійному аналізі, чи результативна, як у методі аналітичного групування) – ознаки метричної шкали, а й тоді, коли є ознаки порядкової (рангової ) чи номінальної шкал. Ця перевага одночасно має й недолік – досягається менша глибина аналізу взаємозв’язку: за їх допомогою визначають лише тісноту та перевіряють істотність зв’язку.
На підставі таблиць взаємної спряженості (співзалежності) аналізуються взаємозв’язки між атрибутивними ознаками. Можна методи аналізу таблиць співзалежності використовувати і для кількісних ознак. Будь які технічні перешкоди відсутні.
Як приклад, розглянемо табл.2, в якій наведено результати соціологічного опитування населення щодо намірів прилучитися до ринку цінних паперів.
Тих, хто не боїться ризикувати, класифікували як ризикованих інвесторів; хто не уявляє ризику без гарантії – обережними; хто уникає ризику – неризикованими.
Таблиця 2
Результати соціологічного опитування про відношення до ринку цінних паперів
Вік, рокв
Тип інвестора
Разом
ризиковий
обережний
неризиковий
16-30
24
12
4
40
31-50
20
50
30
100
51 і більше
6
18
36
60
Разом
50
80
70
200
Характер розподілу частот, концентрація їх уздовж головної діагоналі свідчать про наявність стохастичного зв’язку між віком і схильністю до ризику.
Мірою тісноти стохастичного зв’язку є коефіцієнт взаємного узгодження. Його обчислення ґрунтується на розбіжностях часток умовних та безумовного розподілів і здійснюється за формулою
,де
підсумкова частота по і–рядку
частка
j–стовпця
по і
– рядку
частка
j–стовпця
безумовного розподілу.Для сукупності в цілому
є
умовних
поділів.Величину можна обчислити, порівнюючи фактичні частоти таблиці співзалежності
з
теоретичними частотами (за умови
незалежності ознак)
,
тобто
;
,де
підсумкова частота по j-стовпцю.За відсутності стохастичного зв’язку =0. При цьому частки умовних і безумовного розподілів збігаються. Збігаються також емпіричні (фактичні) та теоретичні частоти:
.На основі розподілу ймовірностей перевіряється істотність зв”язку. Критичні значення для
=
0,05 і числа ступенів вільності
порівнюють із фактичним
.
Якщо
,
то істотність зв”язку між ознаками
доведено.Відносною мірою щільності стохастичного зв’язку слугує коефіцієнт взаємної спряженої (співзалежності).
Існує декілька варіантів його визначення. За умови, що
,
використовують формулу Чупрова
,де n – число елементів сукупності;
- число
груп за ознакою х
;
- число
груп за ознакою у.Оскільки за відсутності стохастичного зв’язку (тобто, коли ознаки незалежні) =0, то і С = 0. При функціональному зв’язку С
1.
Стохастичний зв’язок
неявний, коли 0<C<1.
Якщо
=
,
то при функціональному зв’язку
С
= 1. При
≠
навіть при функціональному зв’язку
С
<1.У зв’язку з цим при ≠ використовують формулу Крамера
,де
.Очевидно, що при = значення коефіцієнтів, обчислених за формулами Чупрова та Крамера, збігаються.
Тісноту зв’язку між двома альтернативними ознаками = =2 визначають за допомогою коефіцієнта С для чотириклітинкової таблиці, який називають коефіцієнтом асоціації або контингенції. Позначають його ще буквою А.
За змістом він ідентичний коефіціенту взаємної спряженості, а з пов’язаний функцією : =nА2. =nС2.
За допомогою коефіцієнта асоціації (контингенції) оцінимо тісноту зв’язку між шкідливою звичкою палити та хворобами легенів (табл.3).
Таблиця 3
Розподіл пацієнтів клініки за результатами легеневих проб.
Наявність звички палити
Результати легеневих проб
Разом
аномальні
нормальні
Палить
20
5
25
Не палить
10
15
25
Разом
30
20
50
У нашому прикладі
.Фактичне значення =nС2=50*0,4082=8,32 перевищує критичне значення при
.
0,95(1)
= 3,89. Істотність зв’язку
доведена з імовірністю Р = 0,95Корисною мірою при аналізі 4-клітинкових таблиць взаємної спряженості є відношення перехресних добутків або відношення шансів.
.Воно характеризує міру відносного ризику. У нашому прикладі
.Отже, ймовірність легеневих хвороб у тих, хто палить, у 6 разів вища порівняно з тими, хто не палить.
Рангова кореляція.
При вимірюванні зв’язку між ознаками порядкової шкали використовується коефіцієнт рангової кореляції. Розрахунок його ґрунтується на різниці рангів
,
де
та
- ранги елементів сукупності відповідно
за першою та другою ознаками. Його
обчислюють за формулою Спірмена
де n - число елементів сукупності.
Цей коефіцієнт має такі самі властивості, як і лінійний коефіцієнт кореляції, і змінюється в межах від -1 до +1, водночас оцінює тісноту зв’язку та вказує його напрям.
При повному прямому зв’язку
,
тобто відхилення між рангами
.
Отже
і
=1.При повному зворотному зв’язку (ранги двох рядків розташовані у зворотньому напрямку) =-1.
Якщо два і більше елементи сукупності мають однакові значення ознаки, їм надається середній ранг. Наприклад, 2, 3 і 4 елементи сукупності мають друге за розміром значення ознаки. Тоді їм надається середній ранг 1∕3*(2+3+4) = 3, а тісноту зв’язку можна оцінити за формулою лінійного коефіцієнта кореляції.
Для прикладу використаємо дані про ранги 10 осіб згідно з їх оцінками на вступних іспитах у вуз і середніх балів за першу екзаменаційну сесію (табл.4).
Таблиця 4
Дані про ранги 10 осіб згідно з їх оцінками на вступних іспитах у вуз і середніх балів за першу екзаменаційну сесію
Студент
Ранги
d
d2
Вступні
іспити
Екзаменаційна
сесія
А
7
5
+2
4
Б
3
3
0
0
В
4
4
0
0
Г
1
2
-1
1
Д
8
9
-1
1
Е
2
1
+1
1
Ж
6
7
-1
1
З
10
10
0
0
І
5
6
-1
1
К
9
8
+1
1
Разом
55
55
х
10
=1-
Це свідчить про прямий зв’язок між ознаками (результатами двох екзаменів) і досить високий його рівень.
Можна перевірити істотність зв’язку. Критичне значення коефіцієнта рангової кореляції для =0,05 і n = 10 0,95(10) = 0,564. Фактичне значення більше критичного. Значить істотність зв’язку доведена.
Для зворотних зв’язків, тобто коли <1, з критичним значенням порівнюється абсолютне значення .
Рангові коефіцієнти мають як переваги, так і недоліки порівняно з параметричними. Не потрібно дотримуватись певних математичних передумов відносно розподілу ознак (передумови нормальності розподілу).
Однак, оскільки використовується не значення ознаки, а ранг ознак, втрачається інформація про взаємозв’язок.
Завдання.
Підсумкові результати в кросах (ранг Х) і лижній гонці (ранг У) у 10 лижників розподілились так:
Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
У 2 3 1 4 7 5 10 6 9 8
Обчислити коефіціент рангової кореляції та перевірити істотність зв”язку між результатами лижників у кросах і лижних гонках з імовірностю 0,95.
Розв язування.
Формула для
.де d=(X−Y)− відхилення рангів;
n− кількість елементів сукупності.
Розрахунки виконаємо на основі робочої табл. 1.
ρ =
Критичні значення ρ для =0,95 навед. в додатках.
Для n = 10 критичне ρ0,95 = 0,564 менше від фактичного, що свідчить про істотність зв”язку між ознаками.
Таблиця 1
Розрахункова таблиця
Ранги по кросу та лижній гонці
Різниця рангів
d = х-у
d2
Х
У
1
2
-1
1
2
3
-1
1
3
1
2
4
4
4
0
0
5
7
-2
4
6
5
1
1
7
10
-3
9
8
6
2
4
9
9
0
0
10
8
2
4
Х
Х
Х
28
Завдання
За результатами соціологічного опитування (таблю2) робітників-верстатників обчислити коефіціент асоціації.
Перевірити істотність зв язку з імовірністю 0,95.
Таблиця 2
Результати опитування
Чи задоволені ви темпами кваліф. зростання
Чи маєте намір оволодіти суміжною професією
разом
так
ні
Так
46
12
58
Ні
14
28
42
Разом
60
40
100
Розв язування.
Коефіціент асоціації А обчислюється за формулою
.
У нашому прикладі
А =
Перевірка істотності за допомогою для = 0,05 числа ступенів вільності К = (m1 – 1)( m2 – 1) = ( 2- 1)(2 – 1) = 1*1 = 1 становить 0,95(1) = 3,84. Фактичне значення =100*0,462 = 21,16 більше від критичного. Отже зв”язок між темпами кваліфікаційного зростання і набуттям суміжних прогресій істотний.
Завдання.
Дані комбінаційного розподілу подружніх пар за віком, років (табл.5) обчислити коефіціент співзалежності. Перевірити істотність зв”язку з імовірністю 0,95.
Таблиця 5
Комбінаційний розподіл подружніх пар
Вік дружини
Вік чоловіка
Разом
15-29
30-44
45 і більше
15-29
21
5
1
27
30-44
4
30
10
44
45 і більше
-
5
24
29
Разом
25
40
35
100
Розв язання
Оскільки число груп за обома ознаками однакове, використовують формулу співзалежності Чупрова.
,
де
- сума стандартизованих відхилень
фактичних частот розподілу від
теоретичних;m1, m2 – кількість груп за 1-ою та 2-ою ознаками ;
n – кількіть елементів сукупності.
Теоритичні частоти обчислюють на основі підсумкових частот
.
;
і т.д.Розрахунок наведено у табл.6.
Таблиця 6
Розрахунок .
Група іj
-
( - )2
11
21
7
14
196
28,0
12
5
11
-6
36
3,3
13
1
9
-8
64
7,1
21
4
11
-7
49
4,5
22
30
18
+12
144
8,0
23
10
15
-5
25
1,7
31
0
7
-7
49
7,0
32
5
12
-7
49
4,1
33
24
10
+14
196
19,6
Рзом
100
100
0
х
83,3
С =
.Перевірку істотності зв”язку здійснюють за допомогою –критерію з числом ступенів вільності (m1- 1)(m2-1) = 2*2 = 4.
Критичне значення 0,95(4) = 9,49 значно менше від фактичного = 83,3. Отже, зв”язок між віком подружжя істотний.
.Поняття статистичного графіка.
Статистичний графік (СГ)-це спосіб наочного подання і викладання статистчних даних за допомогою геометричних знаків та інших графічних знаків з метою узагальнення й аналізу їх.
Переваги графічної мови:
Лаконічність (невелика кількість знаків-символів);
однозначність тлумачення;
відносна простота кодування.
Специфічні особливості графічної мови:
двомірність запису (використання для передачі інформації два виміри) ;
неперервність виразу (інформація подається за допомогою взаємозв’язку системи знаків, а не лінійно розташованими дискретними знаками) ;
відокремленість викладу (графічну інформацію, що передається графічною мовою, відокремлюють від безпосередньо зв’язаної з нею за змістом інформації, яку подають у словесній або письмовій формі).
Графічна мова - самостійний, відокремлений засіб передачі інформації тому, що вона здатна не тільки адекватно передавати числові та абстрактні характеристики явищ, які в первинній інформації знаходяться у прихованій формі.
Тому статистичні графіки - це не є проста ілюстрація до текстової чи табличної форми показу статистичних даних.
СГ - це один із видів графічних зображень. Серед графічних зображень можна знайти схему державного устрою, структурну схему організації підприємств, графіки промислових процесів, графіки відпусток, графіки руху поїздів, графіки математичних функцій.
СГ може буде тільки таке графічне зображення, предметом дослідження якого являються статистичні дані, цифрові показники, які збирають під час статистичного дослідження масових суспільних явищ і процесів, які характерезують ту чи іншу їх особливість, рису.