40. Задача коши, теорема сущ. Единственности решения задачи коши Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши

Задача. Из статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных и умерших пропорционально текущей численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Описать протекание демографического процесса во времени (найти закон изменения численности населения с течением времени).

Решение. Пусть - текущая численность населения . За время имеем родившихся и умерших, тогда прирост населения за есть:

, или , где .

Переходя к пределу при , получим ,

- дифференциальное уравнение демографического процесса.

Решая это уравнение, получим: .

Постоянная интегрирования есть численность населения при , т.е. .

Окончательно, имеем .

Определение. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия ( и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).

Пояснение. Для полного описания эволюции какого-либо процесса помимо дифференциального уравнения необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия и т.д.) и, во-вторых, задать режим на границе области, где протекает процесс (граничные условия).

41. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

, (12.5.1)

или в виде . (12.5.2)

где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и были в одной части равенства, а функции, зависящие от и в другой. Затем интегрируем обе части равенства.

(12.5.1) Решение: или

(12.4.2)

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделяя переменные, имеем . Проинтегрируем левую и правую часть равенства . Далее имеем .

, Окончательно имеем .

Уравнения вида , где и - некоторые числа, приводятся к уравниваниям с разделяющимися переменными заменой (или , где - некоторое число).

Пример. Решить уравнение .

Решение: Пусть , тогда , откуда , или . Выразим : , и .

Интегрируем: , или , следовательно .

Возвращаемся к первоначальным переменным: или , где .

42. Линейные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальные уравнения 1-го называется линейным, если оно имеет вид

, (12.7)

где и - некоторые непрерывные функции переменной .

Если уравнение (12.7) называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Решение. а) Если , то однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

б) Если , то для неоднородного уравнения сделаем замену , тогда , и уравнение (12.7) сводится к виду: , или .

Пусть выражение, стоящее в скобках равно нулю, тогда имеем два уравнения с разделяющимися переменными:

Решая сначала первое уравнение из системы, находим какое-либо частное решение , которое подставляем во второе уравнение системы и находим .

Окончательно, имеем решение: .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделив на исходное уравнение, получим линейное уравнение .

Положим , тогда . .

Найдем частное решение первого уравнения системы (пусть ) .

Рассмотрим второе уравнение из системы:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения .