Задача о касательной

Пусть на плоскости дана непрерывная функция и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

Уравнение прямой по точке , принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид: , где , ( - угол наклона прямой). Из (рис.5.1) найдем тангенс угла наклона секущей : . Если точку приближать к точке , то угол будет стремиться к углу , т.е. при . Следовательно, .

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производная f′(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f′(x) в точке х₀, т.е. k= f′(x₀).

Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х₀ примет вид

16. Правила дифференцирования

Производная функции м.б. найдена по схеме:

1. Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .

2. Находим приращение функции .

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при , т.е. (если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим функцию . При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:

1. Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .

2. Найдем приращение функции: .

3. Составим отношение , которое представим в виде: .

4. Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:

На основании определения производной получили, что:

или . ■

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(при условии, что ).

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Дадим аргументу х приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .

2) Найдем приращение функции:

3) Составим отношение , которое представим в виде:

4) Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах: