Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных   и   от параметра  , изменяющегося в пределах от   до  :

Пусть функция   имеет обратную:  . Тогда мы можем, взяв композицию функций   и  , получить зависимость   от  :  . Зависимость величины   от величины  , заданная через зависимость каждой из них от параметра   в виде  , называется функцией  , заданной параметрически.

Производную функции  , заданной параметрически, можно выразить через производные функций   и  : поскольку   и, по формуле производной обратной функции,  , то

где   -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение  .

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между   и  , снова выраженной в виде параметрической зависимости:  ,  ; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции  . Несмотря на то, что производная не выражена через   в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра  . Покажем это на следующем примере.

        Пример 4.22   Пусть зависимость между   и   задана параметрически следующими формулами:

Найдём уравнение касательной к графику зависимости   в точке  .

Значения   и   получаются, если взять  . Найдём производные   и   по параметру  :

Поэтому

При   получаем значение производной

это значение задаёт угловой коэффициент   искомой касательной. Координаты   и   точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:

    

Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости  ,  , мы можем отыскать вторую производную функции   по переменной  :

        Пример 4.23   Пусть дана та же зависимость между   и  , что в предыдущем примере:

Найдём выражение для второй производной   через параметр  . Ранее мы получили, что  . Поэтому  ; производную   мы нашли выше. Получаем:

    

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить   в формулу  ; при этом получим:

23. Односторонние производные.

ОДНОСТОРОННЯЯ ПРОИЗВОДНА- обобщение понятия производной, в к-рой обычный предел заменяется односторонним пределом. Если для функции f(x)действительного переменного существует

то этот предел наз. правой (левой) производной функции f(x) в точке х ₀ . В случае равенства этих О. п. функция имеет в точке х ₀ обычную производную. См. также Дифференциальное исчисление.

24. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. 

Логарифмическое дифференцирование

Если требуется найти  из уравнения  , то можно:

а) логарифмировать обе части уравнения

;

б) дифференцировать обе части полученного равенства, где  есть сложная функция от х,

.

в) заменить  его выражением через х

.

Пример: 

25. Частные производные функции двух переменных.

Пусть f(x, y) — функция двух переменных x, y, определена в некоторой окрестности точки (x0, y0). Если существует конечный предел  ,то функция f(x, y) имеет в точке (x0, y0 ) частную производную по переменной x. Аналогично определяется частная производная функции f(x1, x2, …, xn) по переменной xi :  Обозначают: , .

 

26. Наименьшее и наибольшее значение функции двух переменных в области.

аибольшее и наименьшее значения функции в заданной области

П усть на плоскости хоу дана замкнутая область , граница которой L имеет уравнение у =   (х) (см. рис. 26).

Пусть в замкнутой области   задана дифференцируемая функция z  = f (х, у). Требуется найти наибольшее и наименьшее значения (m и М) функции z в этой замкнутой области  .

Теорема. Если функция z  = f (х, у) непрерывна (или дифференцируема) в некоторой замкнутой области  , имеющей конечный диаметр, то она достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений (см. тему № 11).

Если функция z не имеет внутри области   критических точек, то значения m и М принимаются функцией z на границе L области  , являясь тем самым условными экстремумами z  = f (х, у) при условии у =  (х) .

Если же L представляет собой контур, составленный из нескольких дуг или прямолинейных отрезков с различными уравнениями, то на каждой такой дуге или отрезке следует найти наибольшее и наименьшее значения z и из полученных чисел выбрать наименьшее и наибольшее.

        Итак, для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z  = f (х, у), непрерывной в ограниченной замкнутой области  , необходимо воспользоваться следующим правилом:

1.  Найти критические точки данной функции, лежащие в области   и вычислить значения функции в этих точках (не классифицируя экстремума).

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области.

3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Заметим, что подобным же образом решается задача об отыскании наименьшего и наибольшего значений функции трёх переменных u = f (х, у, z), в замкнутой трёхмерной области.