Асимптоты графика функции

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

    Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки Mв бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

 

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е.   или   или  . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о.  .

Т аким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Т еорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда  . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию  . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что  . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то  , но

MN = MK – NK = y - y_ас = f(x) - (kx+b).

Следовательно, мы можем записать следующее равенство  .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство  . Но при постоянных k и b   и  . Следовательно,  , т.е.  .

Если число k уже известно, то  , поэтому  .

Для доказательства в случае x → –∞  все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство  . Действительно

Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞  и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

11. Выпуклость. Вогнутость, точки перегиба графика функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Примеры. Полуокружность   выпукла на [–1; 1]. Парабола y = x2 вогнута на интервале (-∞; +∞). График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0  (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение  . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении xордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим   ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда  . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет  .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа  , где c между x и x₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа:  , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно,   (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому  .

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь  .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀  (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x₀ и f ''(x) > 0 при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x₀ и f ''(x) < 0 при x > x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

12. Дифференцируемость функции

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения  существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что онадифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если  , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда

Δy=f '(x₀) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x₀)→0 при x→x₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Р ассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx→0 отношение  не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точкеA графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к₁ и к₂. Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δx→0 отношение  является знакопостоянной бесконечно большой величиной  . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" cвертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

13. Дифференциал функции. Его геометрический смысл.

Пусть функция   определена на промежутке   и дифференцируема в окрестности точки  ,тогда   или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем  , где   - бесконечно малая величина при  . Отсюда:

.          ( 7.1)

Таким образом, приращение функции   состоит из двух слагаемых:

1)   - линейного относительно  , т.к.  ;

2)   - нелинейного относительно  , т.к.  .

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно   часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

.            ( 7.2)

Пример. Найти приращение функции   при   и  :

Решение.  , 

Пример. Найти дифференциал функции  .

Решение. По формуле (7.2.) имеем  .

Определение. Дифференциал независимой переменной   равен приращению этой переменной:

          ( 7.3)

Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:

                  ( 7.4)

Откуда  , поэтому   можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем   и знаменателем  .

Геометрический смысл. На графике функции   (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку  . Дадим аргументу   приращение  , тогда функция получает приращение  . В точке   проведем касательную, образующую угол   с осью  . Из треугольника  :  . Из   имеем:  . Таким образом,   и соответствует формуле (7.1).

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции   в данной точке, когда   получает приращение  .

14. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала.

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .