Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке   и образующая угол   с положительным направлением оси Ox:

Нормальное уравнение прямой

где p — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а θ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра. Если p = 0, то прямая проходит через начало координат, а угол   задаёт угол наклона прямой.

14 Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число, его свойства, условие коллинеарности векторов.

Суммой   двух векторов   и   называется вектор, который идет из начала вектора   в конец вектора   при условии, что вектор   приложен к концу вектора   (правильно треугольника). Построение суммы  изображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы   и   приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма   есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала   и   (рис. 2). Отсюда сразу следует, что  .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов  ,  ,  ,  ).

Разность   двух векторов   и   называется вектор, который в сумме с вектором   составляет вектор  . Если два вектора   и   приведены к общему началу, то разность их   есть вектор, идущий из конца  («вычитаемого») к концу   («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом  , то другой обозначается символом  . Легко видеть, что  . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение   (или также  ) вектора   на число   называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора   на модуль числа  ; он параллелен вектору   или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор  , если   - число положительное, и противоположно вектору  , если   - число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:

2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

В частности, если

,  ,

то

,

и

.

Если  , то для любого числа 

.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

,  ,

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов  ,  ,   называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1). Вектор   лежит на оси Ох, вектор   - на оси Оу, вектор   - на оси Oz;

2). Каждый из векторов  ,  ,   направлен по своей оси в положительную сторону;

3). Векторы  ,  ,   единичные, то есть  ,  ,  .

Каким бы ни был вектор  , он всегда может быть разложен по базису  ,  ,   , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора   (то есть X, Y, Z суть проекции вектора   на координатные оси).

 Произведением вектора   на действительное число   называется вектор  , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1)  ;

2)  , если   и  , если  ;

и обозначается  .

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Свойство ассоциативности:   верно

    равенство  .

2. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения чисел:   верно равенство

                            .

3. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения векторов:   верно равенство

                            .

4.   верно равенство  .

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора   и вектора   является существование такого числа  , которое удовлетворяет равенству