60. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.

Совокупность тех значений x, пи которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля.

1) если степенной ряд сходится при значении x = x₀ ≠ 0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях x таких, что |x| < |x₀|.

2) если степенной ряд расходится при x = x₁, то он расходится при всех значениях x таких, что |x| > |x₁|.

Из теоремы следует, что существует такое число R ≥ 0, что при |x| < R ряд сходится, а при |x| > R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости.

69. Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица. Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re(z), а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z), т.е. x = Re(z), y = Im(z).

Арифметические операции на множестве комплексных чисел:

Сложение (вычитание)

z1 ± z2 = x1 ± x2 + i(y1 ± y2)

Умножение

z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

Деление

z1 / z2 = (x1x2 + y1y2) + i(x2y1 – x1y2) / x2² + y2² (z2 ≠ 0).

70. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

С каждой точкой z(x, y) комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки Oz(вектор), длина которого r называетcя модулем комплексного числа z и обозначается |z| :

r = |z| = √ x² + y²

Угол, образованный радиусом-вектором Oz(вектор) c jcm. Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z.

Представление комплексного числа в виде z = r(cosφ + isinφ) , где r = |z| ≥ 0, φ = Arg z, называется тригонометрической формой комплексного числа.

71. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

Формула возведения комплексного числа в натуральную степень n – Муавра.

[r(cosφ + isinφ)]ⁿ = rⁿ(cosn φ + i sinn φ).

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера e^iφ = cos φ + i sinφ.

73. Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Пример: y’’ + y = 0

решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уровнений первого порядка. пример дифференциального уравнения второго порядка: y"=f(x,y)

задача Коши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения: y"=f(x), удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0.