30. Правило Лопиталя.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется последовательность вида [0 . 0] или [∞ . ∞], то lim f(x) / g(x) = lim f’(x) / g’(x).

31. Производные высших порядков.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.

Обозначение производных: f’’(x) – второго порядка (или вторая производная), f’’’(x) – третьего порядка (или третья производная). Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, f⁽⁴⁾(x), …, f⁽ⁿ⁾(x) или f^IV(x) и т.д.

32. Признаки возрастания и убывания функции.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом промежутке.

Рассмотрим два значения x₁ и x₂ на данном промежутке X. Пусть x₂ > x₁, x₁, x₂ є X. Докажем, что f(x₂) > f (x₁).

Для функции f(x) на отрезке [x₁, x₂] выполняются условия теоремы Лагранжа, поэтому f(x₂) – f(x₁) = f’(ξ)(x₂ – x₁), где x₁ < ξ < x₂, т.е. ξ принадлежит промежутку, на котором производная положительна, откуда следует, что f’(ξ) > 0 и часть равенства lim f’(x) / g’(x) положительна. Отсюда f(x₂) – f(x₁) > 0 и f(x₂) > f(x₁).

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

33-34.Экстремум функции. Достаточные условия экстремума (по производной первого и второго порядка).

Точки экстремума – точки минимума и максимума функции.

1. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

2. Точка x₁ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x₁ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₁). Значения функции в точках x₀ и x₁ называются соответственно максимумом и минимумом функции.

Условия:

1. Если при переходе через точку x₀ производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка x₀ есть точка максимума функции y=f(x), а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

2. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке x₀, а вторая производная в этой точке f’’(x₀) положительна, то x₀ есть точка минимума функции f’(x); если f’’(x₀) отрицательна, то x₀ – точка максимума.

35. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.

Функция y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке X, если для любых двух значений x₁, x₂ є X из этого промежутка выполняется неравенство f(x₁ + x₂ / 2) ≤ f(x₁) + f(x₂) / 2.

Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений x₁, x₂ є X из этого промежутка выполняется неравенство f(x₁ + x₂ / 2) ≥ f(x₁) + f(x₂) / 2.

Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точка перегиба графика непрерывной функции – точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Точки перегиба – точки экстремума первой производной.

Необходимое условие перегиба – вторая производная f’’(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба x₀ равна нулю, т.е. f’’(x)=0.

Достаточное условие перегиба – если вторая производная f’’(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку x₀ меняет свой знак, то x₀ есть точка перегиба ее графика.