3.8. Матричный метод расчета схем произвольной структуры.

Метод позволяет оценить надежность системы с учетом зависимости отказов.

С истема из 5 элементов может находиться в 32 состояниях (2⁵). Эти состояния рассматриваются как гипотезы, при которых определяется вероятность работоспособного состояния схемы в целом.

Н_i i=0,3

Нi	Состояние системы
	эл1	эл2	эл3	эл4	эл5
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	1
10	0	1	0	1	0
11
30	1	1	1	1	0
31	1	1	1	1	1

I_р – область работоспособного состояния

P_s – надежность исходной системы (вероятность работоспособного состояния)

- вероятность работоспособного состояния исходной системы при i-той гипотезе

I_р – множество гипотез, при которых обеспечивается связность графа исходной системы

3.9. Верхняя и нижняя оценка надежности по схеме Эзари-Прошана (Литвака-Ушакова).

Оценка основывается на теоремах о минимальных путях и минимальных разрезов графа с надежными ребрами.

Минимальный путь – путь без петель и контуров, кратчайший путь вход-выход.

1 путь Р₁-Р₃

2 путь Р₂-Р₄

3 путь Р₁-Р₅-Р₄

4 путь Р₂-Р₅-Р₃

Минимальные разрезы – разрезы с минимальным числом элементов, нарушающих связность графа.

1 разрез q₁-q₂

2 разрез q₃-q₄

3 разрез q₁-q₅-q₄

4 разрез q₂-q₅-q₃

Доказывается следующее неравенство:

- граница, определяемая разрезами

- граница, определяемая минимальными путями

Резервирование с применением адаптивных структур (мажиритарное резервирование два из трех)

3.10. Надежность систем со скользящим резервированием.

3.10.1. Нагруженный резерв равнонадёжных элементов с экспоненциальным распределением вероятности отказов.

P_i=P

n_осн

По формуле Бернулли, описывающей данную схему

- число сочетаний

- число элементов

k – количество событий

km+1 – система не работоспособна

k – число событий, приводящих к отказу системы

3.10.2. Надежность системы с ненагруженным резервом, равнонадёжными элементами.

P_i=P

Вероятность появления ровно «k» событий по закону Пуассона выражается формулой:

Вероятность безотказной работы группы из n элементов

04.12.02г

4. Марковские модели надежности с непрерывным временем и дискретным счетным множеством состояний.

Задача исследования модели надежности состоит в нахождении функции или алгоритма определения вероятности состояния системы в любой произвольный момент времени или на любом дискретном шаге процесса скачкообразного перехода системы из одного состояния в другое под воздействием случайных факторов.

Эта задача значительно упрощается, если случайные процессы сводятся к Марковским, т.е. представление процесса как результата воздействия Пуассоновских потоков отказа и восстановления (простейший поток с ординарностью, стационарностью и без последствия).

Т.е.:

Система Марковских процессов удобно представить в виде размеченного графа вида:

Задан объект, подлежащий исследованию и Пуассоновские потоки  и .

Определим функции состояния объекта во времени для неработоспособного состояния.

С оставим граф поведения объекта во времени

По формуле полной вероятности запишем уравнение состояний системы в конечных приращениях:

при t0 получаем уравнение Колмогорова, описывающее состояние системы.

Решение этих уравнений прямой подстановкой в формулу Лагранжа получаем следующие функции надежности для первого и второго состояния после вычисления постоянной интегрирования в момент времени t=0.

При t=0 и вероятности :

Д ля состояния P₂(t) принципиально кривые остаются аналогичными.

Модель восстанавливаемой системы с двумя параллельно включенными элементами.

Г ипотеза состояний системы составим граф состояния системы:

На основании уравнения Колмогорова:

В результате решения уравнений в установившемся режиме, т.е. через k_n и k_r, получаем следующее соотношение:

Для случая дублирования в справочниках приводится формула вероятности состояния системы (работоспособное) в нагруженном и ненагруженном резерве.

Приближенная формула расчета надежности для n включенных элементов (параллельно).

11.12.02г

Понятие о финальных вероятностях и системах с доходами.

Теорема о существовании в установившемся режиме финальных вероятностях состояния системы. Финальные вероятности существуют, если число состояний системы конечно и из каждого состояния в другое можно перейти за конечный интервал времени, т.е. .

В этом случае дифференциальные уравнения Колмогорова могут быть представлены системой алгебраических уравнений. Для рассмотрения случая с n=2:

Полученная система без правой части решается с нормирующим условием:

Решение этого уравнения дает значения финальных вероятностей.

Понятие о системах с доходами.

Финальные вероятности – среднее время нахождения системы в i-том состоянии. Следовательно, при доходе системы с_i в единицу времени в i-том состоянии  суммарный доход системы:

5. Схема гибели-размножения в моделях надежности.

5.1. Понятие системы гибель-размножение.

Дана группа из m однородных элементов, при Пуассоновских потоках отказов- восстановления группу элементов (организмов) можно представить графом-схема «гибель-размножение».

п ри n=4

2 ⁴=16 дифференциальное уравнение

5.2. Схема с ненагруженным (холодным) резервом для группы m равнонадёжных элементов.

Система решается преобразованием Лапласа:

- отказ системы

- среднее время работы системы, увеличивающееся пропорционально числу резервных элементов

t – среднее время безотказной работы одного элемента

Существуют формулы для группы неравнонадёжных элементов.

, где t_i наработка до отказа I-того элемента (для неравнонадежных элементов).

5.3. Нагруженный резерв равнонадёжных невосстанавливаемых элементов.

для равнонадежных элементов

5 .4. Модель равнооблегченного резервирования и равнонадежной невосстанавливаемости элементов.

Решением дифференциальных уравнений через преобразование Лапласа получаем результат:

Включение результирующих элементов при облегченном резервировании дает наибольший эффект при:

6. Марковские модели надежности с дискретным временем.

Процесс перехода физической системы из одного состояния в другое можно рассматривать в фиксированные моменты времени, следующие друг за другом через определенные интервалы времени (шаги процесса), в течение шага система находится в неизменном состоянии. Граф связности имеет вид:

m =3

P_ij(n) – вероятность перехода из i-того состояния в j-тое на n-ном шаге.

- вероятность i-того состояния системы

i =1,m

- вектор состояния системы на n-ном шаге.

Переход системы из состояния в состояние определяется матрицей переходных вероятностей на n-ном шаге.

Если матрица переходных вероятностей не меняется от шага к шагу, то такой процесс перехода называется однородным.

При Пуассоновских потоках отказа-восстановления, процесс всегда однороден.

Алгоритм определения состояний системы на заданном шаге.

Е сли можно определить вероятность системы на n-ном шаге и существует алгоритм на n+1 шаге, то случайный процесс определен на любом шаге.

Дана система с двумя состояниями m=2.

Разностные уравнения для аналогичной системы на интервале t имеет вид

Таким образом, K-тое состояние системы есть произведение k-того столбца матрицы переходных состояний на вектор состояния системы.

Т.е. для общего случая:

Векторная форма записи для однородных процессов:

Существует уравнение Чеминема-Колмогорова для записи n-ого состояния системы для неоднородных процессов.

Понятие финальных вероятностей эргодических процессов.

Существует большой класс систем, у которых после некоторого числа переходов, вероятность стремится к постоянной величине.

Также системы называются эргодическими или статистически устойчивыми. При этом различаются невозвратные состояния – состояния, в которых находится система как угодно долго без перехода в эргодический класс.

Каждый Марковский процесс должен иметь, по крайней мере, один эргодический класс.