2. Понятие статистики как функции от выборки

Пусть задана случайная выборка наблюдений . Как правило, поскольку речь идет о задачах математической статистики, распределение элементов этой выборки известно исследователю не полностью (например, содержит неизвестные числовые параметры).

Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки , которая не зависит от неизвестных параметров распределения.

Условие измеримости статистики означает, что эта функция является случайной величиной, то есть определены вероятности ее попадания в интервалы и другие борелевские множества на прямой.

Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, то есть исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно — основывать на этом значении оценки и прочие статистические выводы.

оценка неизвестных параметров распределения

Предположим, что - независимая выборка из неизвестного распределения , зависящего от неизвестного параметра . Часто возникает необходимость приблизить значение некоторой функции от параметра . Функция , вообще говоря, может принимать векторные значения:

В математической статистике такая задача называется задачей оценивания. Само искомое приближение называют оценкой . По существу, оценка функции есть некоторое выражение, зависящее от выборки:

Замечание

Нередко рассматривают ситуацию , . В этом случае говорят просто об оценке неизвестных параметров распределения , которую принято обозначать

Билет №15

1.Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H₀ о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F ^* (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения F ^* (x) и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического - т.е. соответствующего гипотезе H₀) распределенияF(x) производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Статистика критерия

Для проверки критерия вводится статистика:

где   — предполагаемая вероятность попадения в i-й интервал,   — соответствующее эмпирическое значение, n_i — число элементов выборки из i-го интервала, N — полный объём выборки. Также используется расчет критерия по частоте, тогда:

где V_i - частота попадания значений в интервал. Эта величина в свою очередь является случайной (в силу случайности X) и должна подчиняться распределению χ².

2) Интервальный вариационный ряд.Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений зачастую не позволяют выделить характерные черты варьирования ее значений. Это объясняется тем, что отдельные значения случайной величины могут как угодно мало отличаться друг от друга и поэтому в совокупности наблюдаемых данных одинаковые значения величины могут встречаться редко, а частоты вариантов мало отличаются друг от друга.Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный (вариационный) ряд распределения. Для построения такого ряда весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивают на ряд частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал. Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i /h (гистограмма частот) или  w_i /h(гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице (рис.2). рис 2

Дисциплина: ТВ и МС Билет № 16