II Анализ задачного материала

Прежде всего, отметим, что усвоение каждой темы школьного курса математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается определенной системой упражнений и задач. Система задач — сложное образование. Не .вдаваясь в детали понятия системы, перечислим некоторые наиболее существенные требования к системе задач по теме.

1.Среди упражнений должно быть достаточное число дидактиче­ских, т. е. одно-двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемых дидактических единиц, для формирования умственных действий, непосредственно связанных с этими дидактическими единицами. Требования к системе таких упражнений перечислены ранее.

2. При изучении каждой темы формируются вполне определенные общелогические и специфические умения, которые используются далее при изучении теории и решении задач , Для выявления этих умений есть несколько источников. Во-первых, программы по математике и государственный стандарт образования [34,19]; во-вторых, логико-математический и дидактический анализ теоретического материала и, в-третьих, решение задач.

В системе задач по теме должно быть достаточное количество задач, направленных на формирование выявленных умений.

3. Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по теме иметь комплексные задачи, т. е. задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики и даже других предметов.

4. В систему задач должны входить и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума. Это, например, задачи с нестандартной постановкой вопроса, с практическим содержанием, задачи, допускающие несколько способов решения, задачи, на основе которых можно составить новые, в частности обратные, задачи, цепочки взаимосвязанных задач и т. д.

Задачи всех перечисленных выше видов должны быть рассчитаны на учащихся с различными уровнями подготовленности, т. е. система задач должна обеспечивать соблюдение принципа посильных трудностей.

Как известно, в учебниках по математике к каждой теме предлагается набор задач. Однако далеко не всегда этот набор и порядок расположения образуют систему задач, особенно по геометрии. Кроме того, цель, с которой та или иная задача может быть использована в процессе обучения, определяется индивидуально, она зависит не только от содер­жания, метода и приема решения задачи, но и от возможностей класса, его отдельных учащихся, от квалификации учителя

Для создания системы задач и разработки методики работы над задачами с целью обучения и развития учащихся проводится анализ заданного материала.

Анализ задачного материала — процесс непростой и неоднозначный. Результат анализа зависит от знаний учителя, его умения решать задачи, от "вкуса" к решению задач, от степени его стремления к научению учащихся решению задач и других параметров.

Наметим примерную последовательность действий учителя при анализе задачного материала темы.

1. Выписать дидактические единицы и методологические знания, которые должны быть усвоены при изучении темы.

2. Решить все задачи по теме из учебника (в том числе и дополни тельные). Провести анализ решения каждой задачи: выделить теоретический базис, метод решения (в содержательном и логическом плане), приемы (общелогические и специфические), попытаться найти другие способы решения задачи, составить на основе данной задачи новые и т.д. По результатам анализа решения задачу необходимо отнести к той или иной группе в соответствии с требованиями 1 — 4 к системе задач.

а) Дидактические задачи и упражнения соотнести с элементами знания, выделенными в первом действии.

б) Выбрать задачи-факты (задачи-теоремы) При необходимости приписать их к изучаемым дидактическим единицам и методологическим знаниям.

в) Выявить новые для учащихся типы задач, приемы и методы решения задач. Фактически здесь выделяются группы задач на формирование умений, характерных для данной темы (см. требование 2 к системе задач).

г) Выделить задачи на комплексное применение знаний из данной и ранее изученных тем.

д) Отобрать задачи, на основе которых может быть проведена дополнительная работа (поиск разных способов решения, составление новых, задач и др)

Очевидно, что предлагаемое здесь разделение задач не является классификацией. Во-первых, нередко бывает трудно провести границу между задачами одной и другой групп. Во-вторых, Одна задача может выполнять несколько функций и, следовательно, входить в разные группы. И, в-третьих, могут оказаться задачи, которые ничем не привлекут внимания учителя.

3. Проверить, все ли единицы усвоения снабжены достаточным количеством упражнений и задач. Пополнить список задач недостающими.

Их можно составить или позаимствовать из других источников

3. Установить взаимосвязи между задачами одной группы, по возможности ранжировать их по степени сложности.

4. Установить взаимосвязи между группами задач, если групп несколько, выбрать последовательность представления групп учащимся.

5. В каждой группе задач выделить ключевую.

6. Составить контрольную работу, учитывающую уровень развития каждого ученика.

На основе результатов анализа задачного материала темы планируются уроки первичного закрепления, уроки решения ключевых задач, уроки-практикумы.

Для иллюстрации высказанных общих положений проанализируем задачный материал темы "Параллельные прямые",

Разговор о дидактических задачах темы опускаем, поскольку он больше касается изучения теории.

Согласно программе, при изучении темы "Параллельные прямые" необходимо формировать умения

• доказывать параллельность прямых с использованием соответствующих признаков;

• находить равные углы при параллельных прямых и секущей [34. с. 88, 95].

Анализ теоретического материала показывает, что, кроме названных, формируются умения

• формулировать предложение, обратное данному;

• доказывать предложение методом от противного.

В процессе решения задач обнаруживается, что наряду с доказательством параллельности прямых нередко приходится обосновывать их непараллельность. Следовательно, наряду с перечисленными, формируется и умение

•доказывать, что прямые пересекаются (непараллельны).

В соответствии с перечисленными умениями можно выделить последовательность групп задач.

1. Задачи, в которых даны две прямые и секущая. При решении используются или признаки, или свойства параллельности прямых, или признаки и свойства вместе. В основном, это задачи на доказательство (параллельности или непараллельности прямых, равенства углов) или на вычисление и доказательство с использованием свойств смежных и вертикальных углов.

К числу ключевых в этой группе можно отнести следующие задачи.

Задача 1. Доказать, что если при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются [10, № 220].

Задана 2. По данным рис. 10 найти угол 1 [10, № 205].

2. Задачи, в которых две прямые и секущая явно не заданы, они определяются отрезками, двойками точек, элементами треугольника. При решении наряду с признаками и свойствами параллельности прямых используются признаки равенства треугольников, определение биссектрисы угла, определение и свойства равнобедренного треугольника.

К ключевым здесь можно отнести, например, следующую задачу.

Задача 3. Отрезок ВК —биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Доказать, что КМ || АВ [10 ,№ 191}.

3. Комплексные задачи, при решении которых используются не только признаки или свойства параллельности прямых, но и другие знания, полученные при изучении данной и других тем. Приведем пример такой задачи.

Задача 4. Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Доказать, что точки М, N и А лежат на одной прямой [10, № 221].

Задачи первой и второй групп обязательны для решения в любом классе. Задачи третьей группы решаются не в каждом классе и не всеми учащимися,

В характеристиках групп задач явно выделены возможности формирования специфических умений — доказывать параллельность или непараллельность прямых и равенство углов с использованием параллельности. Умение формулировать предложение, обратное данному, применять метод от противного — общелогические умения. Они формируются параллельно со специфическими умениями. Поэтому специальные группы задач для них не выделены. Возможности формирования этих и других умений отражены в отборе ключевых задач. Характеристика ключевых задач и методика работы с ними рассмотрены в 2.4.